题目
2.求曲面 =(x)^2+2(y)^2 及 =3-2(x)^2-(y)^2 所围成的立体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面交线
首先，我们需要找到两个曲面的交线。为此，我们设置两个曲面的 $z$ 值相等，即 ${x}^{2}+2{y}^{2}=3-2{x}^{2}-{y}^{2}$。通过整理，我们得到 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，这是一个半径为1的圆。
步骤 2：确定积分区域
根据步骤1，我们确定了积分区域 $D$ 为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，即一个半径为1的圆盘。
步骤 3：计算体积
体积 $V$ 可以通过计算两个曲面之间的差值的积分来得到，即 $V=\iint (3-2{x}^{2}-{y}^{2})d\sigma -\iint ({x}^{2}+2{y}^{2})d\sigma$。其中，$d\sigma$ 是积分区域 $D$ 上的面积元素。
步骤 4：转换为极坐标
为了简化计算，我们使用极坐标转换。设 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $d\sigma=rdrd\theta$。积分区域 $D$ 在极坐标下为 $0\leqslant r\leqslant 1$，$0\leqslant \theta\leqslant 2\pi$。
步骤 5：计算积分
将步骤4中的极坐标代入步骤3中的积分表达式，我们得到 $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}[(3-2r^{2}\cos^{2}\theta-r^{2}\sin^{2}\theta)-(r^{2}\cos^{2}\theta+2r^{2}\sin^{2}\theta)]rdrd\theta$。简化后，$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(3-3r^{2})rdrd\theta$。计算得到 $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(3r-3r^{3})drd\theta$。进一步计算得到 $V=\int_{0}^{2\pi}(\frac{3}{2}-\frac{3}{4})d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}d\theta=\frac{3}{2}\pi$。
首先，我们需要找到两个曲面的交线。为此，我们设置两个曲面的 $z$ 值相等，即 ${x}^{2}+2{y}^{2}=3-2{x}^{2}-{y}^{2}$。通过整理，我们得到 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，这是一个半径为1的圆。
步骤 2：确定积分区域
根据步骤1，我们确定了积分区域 $D$ 为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，即一个半径为1的圆盘。
步骤 3：计算体积
体积 $V$ 可以通过计算两个曲面之间的差值的积分来得到，即 $V=\iint (3-2{x}^{2}-{y}^{2})d\sigma -\iint ({x}^{2}+2{y}^{2})d\sigma$。其中，$d\sigma$ 是积分区域 $D$ 上的面积元素。
步骤 4：转换为极坐标
为了简化计算，我们使用极坐标转换。设 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $d\sigma=rdrd\theta$。积分区域 $D$ 在极坐标下为 $0\leqslant r\leqslant 1$，$0\leqslant \theta\leqslant 2\pi$。
步骤 5：计算积分
将步骤4中的极坐标代入步骤3中的积分表达式，我们得到 $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}[(3-2r^{2}\cos^{2}\theta-r^{2}\sin^{2}\theta)-(r^{2}\cos^{2}\theta+2r^{2}\sin^{2}\theta)]rdrd\theta$。简化后，$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(3-3r^{2})rdrd\theta$。计算得到 $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(3r-3r^{3})drd\theta$。进一步计算得到 $V=\int_{0}^{2\pi}(\frac{3}{2}-\frac{3}{4})d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}d\theta=\frac{3}{2}\pi$。