题目

实指数序列x(n)=a^nu(n)，a为实数，0< a< 1的傅里叶变换X(e^jomega)为()。 A. (1)/(1-ae^jomega)B. (1)/(1-ae^-jomega)C. (1)/(1+ae^-jomega)D. (-1)/(1-ae^-jomega)

实指数序列$x(n)=a^nu(n)$，$a$为实数，$0< a< 1$的傅里叶变换$X(e^{j\omega})$为()。

  • A. $\frac{1}{1-ae^{j\omega}}$
  • B. $\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}$
  • C. $\frac{1}{1+ae^{-j\omega}}$
  • D. $\frac{-1}{1-ae^{-j\omega}}$

题目解答

答案

为了求解实指数序列 $ x(n) = a^n u(n) $ 的傅里叶变换 $ X(e^{j\omega}) $，我们需要使用傅里叶变换的定义。傅里叶变换的定义为： \[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} \] 给定的序列 $ x(n) = a^n u(n) $，其中 $ u(n) $ 是单位阶跃函数，即： \[ u(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n \geq 0 \\ 0 & \text{if } n < 0 \end{cases} \] 因此，序列 $ x(n) $ 可以写成： \[ x(n) = \begin{cases} a^n & \text{if } n \geq 0 \\ 0 & \text{if } n < 0 \end{cases} \] 将 $ x(n) $ 代入傅里叶变换的定义中，我们得到： \[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n u(n) e^{-j\omega n} \] 由于 $ u(n) $ 在 $ n < 0 $ 时为 0，所以求和范围可以简化为从 0 到正无穷： \[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n e^{-j\omega n} \] 这是一个几何级数的求和问题。几何级数的求和公式为： \[ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r} \] 其中 $ |r| < 1 $。在这个问题中， $ r = a e^{-j\omega} $，且 $ 0 < a < 1 $，所以 $ |a e^{-j\omega}| = a < 1 $。因此，我们可以应用几何级数的求和公式： \[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} (a e^{-j\omega})^n = \frac{1}{1 - a e^{-j\omega}} \] 因此，实指数序列 $ x(n) = a^n u(n) $ 的傅里叶变换 $ X(e^{j\omega}) $ 为： \[ X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - a e^{-j\omega}} \] 所以，正确答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

考查要点：本题主要考查离散时间傅里叶变换（DTFT）的定义以及几何级数求和法的应用。

解题核心思路：

  1. 明确傅里叶变换的定义，写出序列的非零部分对应的求和表达式。
  2. 识别几何级数的结构，确定公比并验证其绝对值小于1的条件。
  3. 应用几何级数求和公式，化简得到最终结果。

破题关键点：

  • 单位阶跃函数$u(n)$的存在使得求和范围简化为$n \geq 0$。
  • 公比的正确提取：将$a^n e^{-j\omega n}$合并为$(a e^{-j\omega})^n$。
  • 收敛性验证：$|a e^{-j\omega}| = a < 1$，满足几何级数收敛条件。

根据傅里叶变换的定义：
$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}$
代入$x(n) = a^n u(n)$，并利用$u(n)$的性质（$n < 0$时$x(n)=0$），得：
$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n e^{-j\omega n}$

步骤1：提取公比
将求和式改写为几何级数形式：
$\sum_{n=0}^{\infty} (a e^{-j\omega})^n$

步骤2：应用几何级数公式
几何级数求和公式为：
$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r} \quad (|r| < 1)$
此处$r = a e^{-j\omega}$，因$0 < a < 1$，故$|r| = a < 1$，满足收敛条件。代入公式得：
$X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - a e^{-j\omega}}$

选项分析：

  • 选项B的分母为$1 - a e^{-j\omega}$，与推导结果一致。
  • 其余选项的指数符号或分子符号错误，可直接排除。