直线 L_1: (x-2)/(3) = (y+1)/(-2) = (z-3)/(6) 与直线 L_2: {x+2y=1 y+z=-2. 的位置关系为(）.A. 不确定B. 相交C. 异面D. 平行

考查要点：本题主要考查空间中两直线位置关系的判断，涉及方向向量的计算、直线参数方程的建立以及联立方程求解公共点的能力。

解题核心思路：

1. 方向向量判断平行性：分别求出两直线的方向向量，若存在比例关系则平行，否则不平行。
2. 联立方程判断相交性：将一条直线的参数方程代入另一条直线的平面方程组，若存在唯一解则相交，否则为异面。

破题关键点：

• 方向向量的确定：对称式直线直接读取方向向量，联立平面方程的直线需通过法向量叉乘求方向向量。
• 参数方程的代入验证：通过参数方程代入联立方程组，验证是否存在公共点。

步骤1：求方向向量

• 直线$L_1$的方向向量：由对称式$\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{6}$，直接得$\mathbf{d_1} = (3, -2, 6)$。
• 直线$L_2$的方向向量：联立平面$x+2y=1$和$y+z=-2$，法向量分别为$\mathbf{n_1}=(1,2,0)$和$\mathbf{n_2}=(0,1,1)$。方向向量$\mathbf{d_2} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&2&0\\0&1&1\end{vmatrix} = (2, -1, 1)$。

步骤2：判断平行性

检查$\mathbf{d_1}$与$\mathbf{d_2}$是否成比例：

• 若存在$k$使得$(3, -2, 6) = k(2, -1, 1)$，则需满足$3=2k$，$-2=-k$，$6=k$。由$-2=-k$得$k=2$，但$3 \neq 2 \times 2$，故不平行。

步骤3：判断相交性

• 建立$L_1$的参数方程：设参数为$t$，则：
  $\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 - 2t \\ z = 3 + 6t \end{cases}$

• 代入$L_2$的方程组：

  1. 代入$x + 2y = 1$：
     $(2 + 3t) + 2(-1 - 2t) = 1 \implies 2 + 3t - 2 - 4t = 1 \implies -t = 1 \implies t = -1$
  2. 验证$y + z = -2$：
     当$t = -1$时，$y = -1 - 2(-1) = 1$，$z = 3 + 6(-1) = -3$，则$y + z = 1 + (-3) = -2$，满足方程。

• 结论：存在公共点$(-1, 1, -3)$，故两直线相交。