题目
11. int (x)^2cos xdx.-|||-12. int t(e)^-2tdt..-|||-13.|nn^2xdx.-|||-.fxsin xcos xdx.-|||-15. int (x)^2(cos )^2dfrac (x)(2)dx.-|||-16. int xln (x-1)dx.-|||-17. int ((x)^2-1)sin 2xdx.-|||-18. int dfrac ({ln )^3x}({x)^2}dx.-|||-19. int (e)^sqrt [3](x)dx.-|||-.int cos ln xdx.-|||-21. int ((arctan x))^2dx.-|||-.(e)^x(sin )^2xdx.-|||-23.|xln^2xdx.-|||-24. int (e)^sqrt (3x+9)dx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：使用分部积分法
设 $u = x^2$，$dv = \cos x\,dx$，则 $du = 2x\,dx$，$v = \sin x$。
步骤 2：应用分部积分公式
$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - \int 2x\sin x\,dx$。
步骤 3：再次使用分部积分法
设 $u = 2x$，$dv = \sin x\,dx$，则 $du = 2\,dx$，$v = -\cos x$。
步骤 4：应用分部积分公式
$\int 2x\sin x\,dx = -2x\cos x + \int 2\cos x\,dx = -2x\cos x + 2\sin x$。
步骤 5：合并结果
$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - (-2x\cos x + 2\sin x) + C = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$。
【答案】
$x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$。
12. $\int t{e}^{-2t}dt$
【解析】
步骤 1：使用分部积分法
设 $u = t$，$dv = e^{-2t}dt$，则 $du = dt$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2t}$。
步骤 2：应用分部积分公式
$\int t{e}^{-2t}dt = -\frac{1}{2}te^{-2t} + \frac{1}{2}\int e^{-2t}dt$。
步骤 3：计算积分
$\int e^{-2t}dt = -\frac{1}{2}e^{-2t}$。
步骤 4：合并结果
$\int t{e}^{-2t}dt = -\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} + C = -\frac{1}{2}e^{-2t}(t + \frac{1}{2}) + C$。
【答案】
$-\frac{1}{2}e^{-2t}(t + \frac{1}{2}) + C$。
13. $\int \ln^2 x\,dx$
【解析】
步骤 1：使用分部积分法
设 $u = \ln^2 x$，$dv = dx$，则 $du = 2\ln x \cdot \frac{1}{x}dx$，$v = x$。
步骤 2：应用分部积分公式
$\int \ln^2 x\,dx = x\ln^2 x - \int 2\ln x\,dx$。
步骤 3：再次使用分部积分法
设 $u = \ln x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = x$。
步骤 4：应用分部积分公式
$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int dx = x\ln x - x$。
步骤 5：合并结果
$\int \ln^2 x\,dx = x\ln^2 x - 2(x\ln x - x) + C = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C$。
设 $u = x^2$，$dv = \cos x\,dx$，则 $du = 2x\,dx$，$v = \sin x$。
步骤 2：应用分部积分公式
$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - \int 2x\sin x\,dx$。
步骤 3：再次使用分部积分法
设 $u = 2x$，$dv = \sin x\,dx$，则 $du = 2\,dx$，$v = -\cos x$。
步骤 4：应用分部积分公式
$\int 2x\sin x\,dx = -2x\cos x + \int 2\cos x\,dx = -2x\cos x + 2\sin x$。
步骤 5：合并结果
$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - (-2x\cos x + 2\sin x) + C = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$。
【答案】
$x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$。
12. $\int t{e}^{-2t}dt$
【解析】
步骤 1：使用分部积分法
设 $u = t$，$dv = e^{-2t}dt$，则 $du = dt$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2t}$。
步骤 2：应用分部积分公式
$\int t{e}^{-2t}dt = -\frac{1}{2}te^{-2t} + \frac{1}{2}\int e^{-2t}dt$。
步骤 3：计算积分
$\int e^{-2t}dt = -\frac{1}{2}e^{-2t}$。
步骤 4：合并结果
$\int t{e}^{-2t}dt = -\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} + C = -\frac{1}{2}e^{-2t}(t + \frac{1}{2}) + C$。
【答案】
$-\frac{1}{2}e^{-2t}(t + \frac{1}{2}) + C$。
13. $\int \ln^2 x\,dx$
【解析】
步骤 1：使用分部积分法
设 $u = \ln^2 x$，$dv = dx$，则 $du = 2\ln x \cdot \frac{1}{x}dx$，$v = x$。
步骤 2：应用分部积分公式
$\int \ln^2 x\,dx = x\ln^2 x - \int 2\ln x\,dx$。
步骤 3：再次使用分部积分法
设 $u = \ln x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = x$。
步骤 4：应用分部积分公式
$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int dx = x\ln x - x$。
步骤 5：合并结果
$\int \ln^2 x\,dx = x\ln^2 x - 2(x\ln x - x) + C = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C$。