设f(x)连续可微,且 (0)=2, 若沿任意光滑封闭曲线L都有-|||-(int )_(t)^2[ 3(e)^2x-f(x)] ydx+f(x)dy=0, 则 f(x)= ()

步骤 1：应用格林公式
根据格林公式，对于任意光滑封闭曲线L，有
${\int }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
其中，$P=[3{e}^{2x}-f(x)]y$，$Q=f(x)$，D是L所围成的区域。

步骤 2：计算偏导数
计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}=f'(x)$
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial [3{e}^{2x}-f(x)]y}{\partial y}=3{e}^{2x}-f(x)$

步骤 3：代入格林公式
将$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$代入格林公式，得到
${\int }_{L}[3{e}^{2x}-f(x)]ydx+f(x)dy={\iint }_{D}[f'(x)-(3{e}^{2x}-f(x))]dxdy$
由于题目条件是${\int }_{L}[3{e}^{2x}-f(x)]ydx+f(x)dy=0$，所以
${\iint }_{D}[f'(x)-(3{e}^{2x}-f(x))]dxdy=0$
由于D是任意区域，所以$f'(x)-(3{e}^{2x}-f(x))=0$，即
$f'(x)+f(x)=3{e}^{2x}$

步骤 4：求解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，其通解为
$f(x)={e}^{-x}+{e}^{2x}+C{e}^{-x}$
其中C为常数。由于$f(0)=2$，代入得到
$2={e}^{0}+{e}^{0}+C{e}^{0}=2+C$
所以C=0，因此
$f(x)={e}^{-x}+{e}^{2x}$