题目
已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。求下列事件的概率：(1)两件都是正品；(2)两件都是次品；(3)一件是正品，一件是次品；(4)第二次取出的是次品。
已知在$$10$$件产品中有$$2$$件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。求下列事件的概率：
(1)两件都是正品；
(2)两件都是次品；
(3)一件是正品，一件是次品；
(4)第二次取出的是次品。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设 ${A}_{1}$ 表示第一次取出的是正品，${A}_{2}$ 表示第二次取出的是正品，${\overline {A}}_{1}$ 表示第一次取出的是次品，${\overline {A}}_{2}$ 表示第二次取出的是次品。
步骤 2：计算两件都是正品的概率
两件都是正品的概率为 $P({A}_{1}{A}_{2})$，即第一次取出正品且第二次取出正品的概率。由于是不放回抽样，第一次取出正品的概率为 $\dfrac{8}{10}$，第二次取出正品的概率为 $\dfrac{7}{9}$，因此 $P({A}_{1}{A}_{2})=\dfrac{8}{10}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{28}{45}$。
步骤 3：计算两件都是次品的概率
两件都是次品的概率为 $P({\overline {A}}_{1}{\overline {A}}_{2})$，即第一次取出次品且第二次取出次品的概率。由于是不放回抽样，第一次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{10}$，第二次取出次品的概率为 $\dfrac{1}{9}$，因此 $P({\overline {A}}_{1}{\overline {A}}_{2})=\dfrac{2}{10}\times \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{45}$。
步骤 4：计算一件是正品，一件是次品的概率
一件是正品，一件是次品的概率为 $P({A}_{1}{\overline {A}}_{2}\cup {\overline {A}}_{1}{A}_{2})$，即第一次取出正品且第二次取出次品或第一次取出次品且第二次取出正品的概率。由于是不放回抽样，第一次取出正品的概率为 $\dfrac{8}{10}$，第二次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{9}$，第一次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{10}$，第二次取出正品的概率为 $\dfrac{8}{9}$，因此 $P({A}_{1}{\overline {A}}_{2}\cup {\overline {A}}_{1}{A}_{2})=\dfrac{8}{10}\times \dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{10}\times \dfrac{8}{9}=\dfrac{16}{45}$。
步骤 5：计算第二次取出的是次品的概率
第二次取出的是次品的概率为 $P({\overline {A}}_{2})$，即第二次取出次品的概率。由于是不放回抽样，第一次取出正品的概率为 $\dfrac{8}{10}$，第二次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{9}$，第一次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{10}$，第二次取出次品的概率为 $\dfrac{1}{9}$，因此 $P({\overline {A}}_{2})=\dfrac{8}{10}\times \dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{10}\times \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{5}$。
设 ${A}_{1}$ 表示第一次取出的是正品，${A}_{2}$ 表示第二次取出的是正品，${\overline {A}}_{1}$ 表示第一次取出的是次品，${\overline {A}}_{2}$ 表示第二次取出的是次品。
步骤 2：计算两件都是正品的概率
两件都是正品的概率为 $P({A}_{1}{A}_{2})$，即第一次取出正品且第二次取出正品的概率。由于是不放回抽样，第一次取出正品的概率为 $\dfrac{8}{10}$，第二次取出正品的概率为 $\dfrac{7}{9}$，因此 $P({A}_{1}{A}_{2})=\dfrac{8}{10}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{28}{45}$。
步骤 3：计算两件都是次品的概率
两件都是次品的概率为 $P({\overline {A}}_{1}{\overline {A}}_{2})$，即第一次取出次品且第二次取出次品的概率。由于是不放回抽样，第一次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{10}$，第二次取出次品的概率为 $\dfrac{1}{9}$，因此 $P({\overline {A}}_{1}{\overline {A}}_{2})=\dfrac{2}{10}\times \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{45}$。
步骤 4：计算一件是正品，一件是次品的概率
一件是正品，一件是次品的概率为 $P({A}_{1}{\overline {A}}_{2}\cup {\overline {A}}_{1}{A}_{2})$，即第一次取出正品且第二次取出次品或第一次取出次品且第二次取出正品的概率。由于是不放回抽样，第一次取出正品的概率为 $\dfrac{8}{10}$，第二次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{9}$，第一次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{10}$，第二次取出正品的概率为 $\dfrac{8}{9}$，因此 $P({A}_{1}{\overline {A}}_{2}\cup {\overline {A}}_{1}{A}_{2})=\dfrac{8}{10}\times \dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{10}\times \dfrac{8}{9}=\dfrac{16}{45}$。
步骤 5：计算第二次取出的是次品的概率
第二次取出的是次品的概率为 $P({\overline {A}}_{2})$，即第二次取出次品的概率。由于是不放回抽样，第一次取出正品的概率为 $\dfrac{8}{10}$，第二次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{9}$，第一次取出次品的概率为 $\dfrac{2}{10}$，第二次取出次品的概率为 $\dfrac{1}{9}$，因此 $P({\overline {A}}_{2})=\dfrac{8}{10}\times \dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{10}\times \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{5}$。