题目
1.求下列微分方程的通解:-|||-(1) (x(y)^2+x)dx+(y-(x)^2y)dy=0; ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
原方程为 $(x{y}^{2}+x)dx+(y-{x}^{2}y)dy=0$ ，可以写成 $x({y}^{2}+1)dx=y({x}^{2}-1)dy$ 。将方程两边的变量分离，得到 $\dfrac {xdx}{{x}^{2}-1}=\dfrac {ydy}{1+{y}^{2}}$ 。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边分别积分，得到 $\int \dfrac {xdx}{{x}^{2}-1}=\int \dfrac {ydy}{1+{y}^{2}}$ 。左边的积分可以通过换元法求解，令 $u={x}^{2}-1$ ，则 $du=2xdx$ ，因此 $\int \dfrac {xdx}{{x}^{2}-1}=\dfrac {1}{2}\int \dfrac {du}{u}=\dfrac {1}{2}\ln |u|+C_1=\dfrac {1}{2}\ln |{x}^{2}-1|+C_1$ 。右边的积分可以通过换元法求解，令 $v=1+{y}^{2}$ ，则 $dv=2ydy$ ，因此 $\int \dfrac {ydy}{1+{y}^{2}}=\dfrac {1}{2}\int \dfrac {dv}{v}=\dfrac {1}{2}\ln |v|+C_2=\dfrac {1}{2}\ln |1+{y}^{2}|+C_2$ 。将两边的积分结果合并，得到 $\dfrac {1}{2}\ln |{x}^{2}-1|+C_1=\dfrac {1}{2}\ln |1+{y}^{2}|+C_2$ 。
步骤 3：整理
将上一步得到的方程整理，得到 $\dfrac {1}{2}\ln |{x}^{2}-1|-\dfrac {1}{2}\ln |1+{y}^{2}|=C_2-C_1$ 。令 $C=C_2-C_1$ ，则方程可以写成 $\dfrac {1}{2}\ln \left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=C$ 。两边同时乘以2，得到 $\ln \left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=2C$ 。令 $C'=2C$ ，则方程可以写成 $\ln \left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=C'$ 。两边同时取指数，得到 $\left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=e^{C'}$ 。令 $C''=e^{C'}$ ，则方程可以写成 $\left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=C''$ 。由于 $C''$ 是任意常数，因此可以写成 $1+{y}^{2}=C({x}^{2}-1)$ ，其中 $C$ 是任意常数。
原方程为 $(x{y}^{2}+x)dx+(y-{x}^{2}y)dy=0$ ，可以写成 $x({y}^{2}+1)dx=y({x}^{2}-1)dy$ 。将方程两边的变量分离，得到 $\dfrac {xdx}{{x}^{2}-1}=\dfrac {ydy}{1+{y}^{2}}$ 。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边分别积分，得到 $\int \dfrac {xdx}{{x}^{2}-1}=\int \dfrac {ydy}{1+{y}^{2}}$ 。左边的积分可以通过换元法求解，令 $u={x}^{2}-1$ ，则 $du=2xdx$ ，因此 $\int \dfrac {xdx}{{x}^{2}-1}=\dfrac {1}{2}\int \dfrac {du}{u}=\dfrac {1}{2}\ln |u|+C_1=\dfrac {1}{2}\ln |{x}^{2}-1|+C_1$ 。右边的积分可以通过换元法求解，令 $v=1+{y}^{2}$ ，则 $dv=2ydy$ ，因此 $\int \dfrac {ydy}{1+{y}^{2}}=\dfrac {1}{2}\int \dfrac {dv}{v}=\dfrac {1}{2}\ln |v|+C_2=\dfrac {1}{2}\ln |1+{y}^{2}|+C_2$ 。将两边的积分结果合并，得到 $\dfrac {1}{2}\ln |{x}^{2}-1|+C_1=\dfrac {1}{2}\ln |1+{y}^{2}|+C_2$ 。
步骤 3：整理
将上一步得到的方程整理，得到 $\dfrac {1}{2}\ln |{x}^{2}-1|-\dfrac {1}{2}\ln |1+{y}^{2}|=C_2-C_1$ 。令 $C=C_2-C_1$ ，则方程可以写成 $\dfrac {1}{2}\ln \left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=C$ 。两边同时乘以2，得到 $\ln \left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=2C$ 。令 $C'=2C$ ，则方程可以写成 $\ln \left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=C'$ 。两边同时取指数，得到 $\left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=e^{C'}$ 。令 $C''=e^{C'}$ ，则方程可以写成 $\left|\dfrac {{x}^{2}-1}{1+{y}^{2}}\right|=C''$ 。由于 $C''$ 是任意常数，因此可以写成 $1+{y}^{2}=C({x}^{2}-1)$ ，其中 $C$ 是任意常数。