题目

lim _(x arrow 0)(1-(x)/(3))^(1)/(x)=e^w1 这里，w1= ____. (答案写成形如 -a/b 的最简分数)

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(1-\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{w1}$ 这里，$w1=$ ____. (答案写成形如 $-a/b$ 的最简分数)

题目解答

答案

将原式改写为指数形式： \[ \lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)} \] 当 $x \to 0$ 时，$\ln\left(1 - \frac{x}{3}\right) \approx -\frac{x}{3}$（利用泰勒展开 $\ln(1+y) \approx y$ 当 $y \to 0$）。 因此， \[ \frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right) \approx \frac{1}{x} \left(-\frac{x}{3}\right) = -\frac{1}{3} \] 故原式极限为 $e^{-\frac{1}{3}}$，即 $w1 = -\frac{1}{3}$。 答案：$-\frac{1}{3}$

解析

本题考查重要极限公式$\lim\limits_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$的应用以及等价无穷小替换的知识。解题思路是先将原式变形为与重要极限公式相似的形式，再利用等价无穷小替换简化计算。

  1. 首先，对原式$\lim _{x \rightarrow 0}\left(1-\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$进行变形，将其改写为指数形式：
    • 根据对数恒等式$a^b = e^{b\ln a}$，可得$\lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)}$。
    • 由指数函数$y = e^x$的连续性可知，$\lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)}$，所以我们只需要求出$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)$的值。
  2. 然后，利用等价无穷小替换：
    • 当$y \to 0$时，$\ln(1 + y) \sim y$。
    • 在本题中，当$x \to 0$时，$-\frac{x}{3} \to 0$，令$y = -\frac{x}{3}$，则$\ln\left(1 - \frac{x}{3}\right) \sim -\frac{x}{3}$。
  3. 最后，计算极限：
    • 将$\ln\left(1 - \frac{x}{3}\right) \sim -\frac{x}{3}$代入$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)$中，可得$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)$。
    • 对$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)$进行化简，$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)=\lim_{x \to 0}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}$。
    • 因为$\lim _{x \rightarrow 0}\left(1-\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)}$，且$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{3}\right)=-\frac{1}{3}$，所以$\lim _{x \rightarrow 0}\left(1-\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{-\frac{1}{3}}$，则$w1 = -\frac{1}{3}$。