设数列x_{n)}满足：x_(1)>0,x_(n)e^x_(n+1)=e^x_(n)-1(n=1,2,...).证明x_{n)}收敛，并求极限lim x_(n).

为了证明数列$\{x_n\}$收敛并求其极限，我们从给定的递推关系开始： \[ x_{n} e^{x_{n+1}} = e^{x_{n}} - 1. \] ### 第一步：证明数列是正的 首先，我们证明对于所有$n$，$x_n > 0$。已知$x_1 > 0$。假设$x_n > 0$。那么，$e^{x_n} > 1$，所以$e^{x_n} - 1 > 0$。由于$x_n > 0$，为了使等式$x_n e^{x_{n+1}} = e^{x_n} - 1$成立，必须有$e^{x_{n+1}} > 0$，这意味着$x_{n+1} > -\infty$。然而，由于指数函数是严格正的，$e^{x_{n+1}} > 0$总是成立的，我们需要检查$x_{n+1} > 0$。如果$x_{n+1} \leq 0$，那么$e^{x_{n+1}} \leq 1$，这将意味着$x_n e^{x_{n+1}} \leq x_n < e^{x_n} - 1$，这是矛盾的。因此，$x_{n+1} > 0$。通过归纳法，对于所有$n$，$x_n > 0$。 ### 第二步：证明数列是递减的 接下来，我们证明数列是递减的。从递推关系中，我们有： \[ e^{x_{n+1}} = \frac{e^{x_n} - 1}{x_n}. \] 取自然对数，我们得到： \[ x_{n+1} = \ln \left( \frac{e^{x_n} - 1}{x_n} \right). \] 为了证明$x_{n+1} < x_n$，我们需要证明： \[ \ln \left( \frac{e^{x_n} - 1}{x_n} \right) < x_n. \] 这等价于： \[ \frac{e^{x_n} - 1}{x_n} < e^{x_n}. \] 由于$x_n > 0$，我们可以两边乘以$x_n$： \[ e^{x_n} - 1 < x_n e^{x_n}, \] 或者 \[ e^{x_n}(1 - x_n) < 1. \] 对于$x_n > 0$，函数$e^{x_n}(1 - x_n)$在$x_n = 0$时等于1，并且随着$x_n$的增加而减少（因为导数$e^{x_n}(-x_n)$是负的）。因此，对于$x_n > 0$，$e^{x_n}(1 - x_n) < 1$，所以$x_{n+1} < x_n$。数列是递减的。 ### 第三步：证明数列收敛 由于数列$\{x_n\}$是正的且递减的，它必须收敛到某个极限$L \geq 0$。 ### 第四步：求极限 设$L = \lim_{n \to \infty} x_n$。对递推关系的两边取极限，我们得到： \[ L e^L = e^L - 1. \] 如果$L > 0$，我们可以两边除以$e^L$： \[ L = 1 - e^{-L}. \] 定义函数$f(L) = L + e^{-L} - 1$。我们需要找到$f(L) = 0$的解。注意$f(0) = 0 + e^0 - 1 = 0$，所以$L = 0$是一个解。对于$L > 0$，导数$f'(L) = 1 - e^{-L} > 0$，所以$f(L)$是递增的，对于$L > 0$，$f(L) > f(0) = 0$。因此，唯一的解是$L = 0$。 因此，数列$\{x_n\}$收敛到$\boxed{0}$。