题目
P(overline(A))=0.8,P(Acupoverline(B))=0.7,则P(overline(AB))=A. 0.375B. 0.3C. 0.5D. 0.35
$P(\overline{A})=0.8,P(A\cup\overline{B})=0.7,$则$P(\overline{AB})=$
A. 0.375
B. 0.3
C. 0.5
D. 0.35
题目解答
答案
B. 0.3
解析
步骤 1：求 $P(A)$
根据概率的补事件公式，$P(A) = 1 - P(\overline{A})$，代入已知的$P(\overline{A})=0.8$，得到$P(A) = 1 - 0.8 = 0.2$。
步骤 2：利用$P(A \cup \overline{B})$求$P(B)$
根据概率的加法公式，$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B})$。由于$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，且$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$，代入已知的$P(A \cup \overline{B})=0.7$，得到$0.7 = 0.2 + (1 - P(B)) - (0.2 - P(A \cap B))$。化简得到$P(B) - P(A \cap B) = 0.3$。
步骤 3：求$P(\overline{AB})$
$P(\overline{AB})$表示事件$A$和$B$都不发生的概率，即$P(\overline{AB}) = P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$。由于$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A \cup B})$，且$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$，代入已知的$P(\overline{A})=0.8$和$P(B) - P(A \cap B) = 0.3$，得到$P(\overline{AB}) = 0.8 + (1 - P(B)) - (0.8 + (1 - P(B)) - (1 - 0.7)) = 0.3$。
根据概率的补事件公式，$P(A) = 1 - P(\overline{A})$，代入已知的$P(\overline{A})=0.8$，得到$P(A) = 1 - 0.8 = 0.2$。
步骤 2：利用$P(A \cup \overline{B})$求$P(B)$
根据概率的加法公式，$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B})$。由于$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，且$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$，代入已知的$P(A \cup \overline{B})=0.7$，得到$0.7 = 0.2 + (1 - P(B)) - (0.2 - P(A \cap B))$。化简得到$P(B) - P(A \cap B) = 0.3$。
步骤 3：求$P(\overline{AB})$
$P(\overline{AB})$表示事件$A$和$B$都不发生的概率，即$P(\overline{AB}) = P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$。由于$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A \cup B})$，且$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$，代入已知的$P(\overline{A})=0.8$和$P(B) - P(A \cap B) = 0.3$，得到$P(\overline{AB}) = 0.8 + (1 - P(B)) - (0.8 + (1 - P(B)) - (1 - 0.7)) = 0.3$。