设R为非空集合A上的等价关系,其等价类记为〔x〕R。x,y∈A,若〈x,y〉∈R,则〔x〕R与〔y〕R的关系是______,而若〈x,y〉R,则〔x〕R∩〔y〕R=______。

考查要点：本题主要考查等价关系的性质及其等价类之间的关系，特别是等价类的相等与互不相交性。

解题核心思路：

1. 等价类相等的条件：若两个元素属于同一等价类，则它们的等价类必然相等。
2. 等价类互不相交的条件：若两个元素不属于同一等价类，则它们的等价类没有公共元素。

破题关键点：

• 等价关系的性质（自反性、对称性、传递性）是推导等价类关系的基础。
• 等价类的定义：等价类中的元素必须满足与代表元具有关系R。
• 反证法：通过假设存在公共元素推导矛盾，证明交集为空。

第一空：若⟨x,y⟩∈R

1. 等价类的包含关系
   若⟨x,y⟩∈R，则根据对称性，⟨y,x⟩∈R，因此y∈[x]R且x∈[y]R。
2. 等价类的相等性
   • 对任意a∈[x]R，有⟨a,x⟩∈R，结合⟨x,y⟩∈R，由传递性得⟨a,y⟩∈R，故a∈[y]R。
   • 同理，对任意b∈[y]R，可证b∈[x]R。
   • 因此[x]R = [y]R。

第二空：若⟨x,y⟩∉R

1. 假设存在公共元素
   若存在z∈[x]R∩[y]R，则⟨z,x⟩∈R且⟨z,y⟩∈R。
2. 推导矛盾
   • 由⟨z,y⟩∈R及⟨z,x⟩∈R，根据对称性和传递性，可得⟨x,y⟩∈R，与题设矛盾。
   • 因此[x]R∩[y]R = ∅。