含有未知函数的导数的方程称为微分方程,例如方程 dfrac (dy)(dx)=f(x), 其中 dfrac (dy)(dx)-|||-为未知函数的导数,f(x)为已知函数.如果函数 =varphi (x) 代入微分方程,使微-|||-分方程成为恒等式,那么函数 =varphi (x) 就称为这个微分方程的解.求下列微分-|||-方程满足所给条件的解:-|||-(1) dfrac (dy)(dx)=((x-2))^2,y(|)_(x=2)=0;-|||-(2) dfrac ({d)^2x}(d{t)^2}=dfrac (2)({t)^3},dfrac (dx)(dt)(|)_(t=1)^1=1,x(|)_(t=1).

考查要点：本题主要考查微分方程的求解方法，包括一阶微分方程的直接积分和二阶微分方程的两次积分，并利用初始条件确定积分常数。

解题思路：

1. 第一题：直接对微分方程 $\dfrac{dy}{dx}=(x-2)^2$ 进行积分，得到通解后代入初始条件 $y|_{x=2}=0$ 确定常数。
2. 第二题：对微分方程 $\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{2}{t^3}$ 进行两次积分，分别代入初始条件 $\dfrac{dx}{dt}|_{t=1}=10$ 和 $x|_{t=1}=1$ 确定两个积分常数。

关键点：积分时注意幂函数的运算规则，代入初始条件时需准确代入变量值。

第（1）题

积分求通解

对微分方程 $\dfrac{dy}{dx}=(x-2)^2$ 两边积分：
$y = \int (x-2)^2 dx = \frac{1}{3}(x-2)^3 + C$

代入初始条件

当 $x=2$ 时，$y=0$，代入得：
$0 = \frac{1}{3}(2-2)^3 + C \implies C=0$

结论：解为 $y=\dfrac{1}{3}(x-2)^3$。

第（2）题

第一次积分求 $\dfrac{dx}{dt}$

对微分方程 $\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{2}{t^3}$ 两边积分：
$\frac{dx}{dt} = \int \frac{2}{t^3} dt = -\frac{1}{t^2} + C_1$

代入 $\dfrac{dx}{dt}|_{t=1}=10$

当 $t=1$ 时，$\dfrac{dx}{dt}=10$，代入得：
$10 = -\frac{1}{1^2} + C_1 \implies C_1=11$

第二次积分求 $x(t)$

将 $\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{1}{t^2}+11$ 积分：
$x = \int \left(-\frac{1}{t^2} + 11\right) dt = \frac{1}{t} + 11t + C_2$

代入 $x|_{t=1}=1$

当 $t=1$ 时，$x=1$，代入得：
$1 = \frac{1}{1} + 11 \cdot 1 + C_2 \implies C_2 = -11$

结论：解为 $x=\dfrac{1}{t} + 11t -11$。