7.设随机变量X与Y相互独立，都服从[0,1]上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度.

考查要点：本题主要考查独立随机变量之和的卷积公式的应用，以及如何根据变量的取值范围分段讨论积分区间。

解题核心思路：

1. 卷积公式：利用独立随机变量的和的密度函数公式，即$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$。
2. 积分区间分析：根据$f_X(x)$和$f_Y(z-x)$非零的条件，确定$x$的有效范围。
3. 分段讨论：根据$z$的不同取值范围（$z < 0$、$0 \leq z \leq 1$、$1 < z \leq 2$、$z > 2$），分别计算积分结果。

破题关键点：

• 理解均匀分布的非零区间：$X$和$Y$的取值范围均为$[0,1]$，因此$f_X(x)$和$f_Y(z-x)$非零的条件是$x \in [0,1]$且$z-x \in [0,1]$。
• 动态调整积分上下限：根据$z$的值，动态确定$x$的积分区间。

设随机变量$X$和$Y$独立且均服从$[0,1]$上的均匀分布，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1, \\0, & \text{其他},\end{cases} \quad f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 \leq y \leq 1, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

根据卷积公式，$Z = X + Y$的概率密度函数为：
$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx.$

积分区间分析：
$f_X(x)$和$f_Y(z-x)$同时非零的条件是：
$0 \leq x \leq 1 \quad \text{且} \quad 0 \leq z - x \leq 1.$
整理得：
$\max(0, z-1) \leq x \leq \min(1, z).$

分段讨论：

1. 当$z < 0$或$z > 2$时：
   积分区间为空，故$f_Z(z) = 0$。

2. 当$0 \leq z \leq 1$时：
   积分区间为$0 \leq x \leq z$，计算得：
   $f_Z(z) = \int_{0}^{z} 1 \cdot 1 \, dx = z.$

3. 当$1 < z \leq 2$时：
   积分区间为$z-1 \leq x \leq 1$，计算得：
   $f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 1 \cdot 1 \, dx = 2 - z.$