如果函数f(x)的定义域是 [ -dfrac (1)(3),3] , 则 (dfrac (1)(x)) 的定义域是 ()

考查要点：本题主要考查函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法。
解题核心思路：将复合函数中的内层表达式视为原函数的输入变量，根据原函数的定义域限制，建立不等式求解。
关键点：

1. 明确原函数定义域：已知$f(x)$的定义域为$[-\dfrac{1}{3}, 3]$，即$f$的输入变量必须满足$-\dfrac{1}{3} \leq t \leq 3$。
2. 建立复合关系：在$f\left(\dfrac{1}{x}\right)$中，令$t = \dfrac{1}{x}$，则$t$必须满足原定义域的限制。
3. 解不等式：通过分情况讨论$x$的正负，解不等式$-\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{x} \leq 3$，最终确定$x$的取值范围。

步骤1：建立变量替换关系
设$t = \dfrac{1}{x}$，则$f\left(\dfrac{1}{x}\right)$的定义域等价于$f(t)$中$t$满足原定义域$[-\dfrac{1}{3}, 3]$时，对应的$x$的取值范围。

步骤2：列出不等式
根据原定义域，需满足：
$-\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{x} \leq 3.$

步骤3：分情况解不等式
将不等式拆分为两部分求解：

1. $\dfrac{1}{x} \geq -\dfrac{1}{3}$

   • 当$x > 0$时：两边乘以$x$得$1 \geq -\dfrac{x}{3}$，恒成立，故$x > 0$。
   • 当$x < 0$时：两边乘以$x$（负数），不等号方向改变，得$1 \leq -\dfrac{x}{3}$，解得$x \leq -3$。
     综合解集：$x > 0$ 或 $x \leq -3$。

2. $\dfrac{1}{x} \leq 3$

   • 当$x > 0$时：两边乘以$x$得$1 \leq 3x$，解得$x \geq \dfrac{1}{3}$。
   • 当$x < 0$时：两边乘以$x$（负数），不等号方向改变，得$1 \geq 3x$，恒成立，故$x < 0$。
     综合解集：$x \geq \dfrac{1}{3}$ 或 $x < 0$。

步骤4：求交集
将两个不等式的解集取交集：

• $x > 0$与$x \geq \dfrac{1}{3}$：交集为$x \geq \dfrac{1}{3}$。
• $x \leq -3$与$x < 0$：交集为$x \leq -3$。
  最终解集：$x \leq -3$ 或 $x \geq \dfrac{1}{3}$。