9.填空题当λ=____时，曲线积分intlimits_(L)3x^2-1ydx+xA^2dy在整个xoy平面内与路径无关.

为了确定使曲线积分$\int\limits_{L} 3x^{2\lambda-1}y \, dx + xA^2 \, dy$在整个$xy$-平面内与路径无关的$\lambda$值，我们需要确保向量场$\mathbf{F} = (3x^{2\lambda-1}y, xA^2)$是保守的。一个向量场是保守的，如果它的旋度为零。对于二维向量场$\mathbf{F} = (P(x, y), Q(x, y))$，旋度由$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$给出。 这里，$P(x, y) = 3x^{2\lambda-1}y$和$Q(x, y) = xA^2$。为了使向量场保守，我们需要： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \] 首先，我们计算$\frac{\partial P}{\partial y}$： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^{2\lambda-1}y) = 3x^{2\lambda-1} \] 接下来，我们计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xA^2) = A^2 \] 由于$A$没有定义，我们假设$A = \lambda$（因为问题可能有打字错误，$A$应该是$\lambda$）。因此，$Q(x, y) = x\lambda^2$，我们有： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x\lambda^2) = \lambda^2 \] 将$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$设置为相等，我们得到： \[ \lambda^2 = 3x^{2\lambda-1} \] 为了使这个等式对所有$x$和$y$都成立，$x$的指数必须为零（因为$\lambda^2$是一个常数），所以： \[ 2\lambda - 1 = 1 \] 解$\lambda$： \[ 2\lambda = 2 \implies \lambda = 1 \] 因此，$\lambda$的值是$\boxed{1}$。