题目

(10)lim_(xto0)(1-cos xcos 2xcos 3x)/(x^2).

(10)$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\cos 2x\cos 3x}{x^{2}}.$

题目解答

答案

利用泰勒展开式近似： \[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}, \quad \cos 2x \approx 1 - 2x^2, \quad \cos 3x \approx 1 - \frac{9x^2}{2} \] 则 \[ \cos x \cos 2x \cos 3x \approx \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\left(1 - 2x^2\right)\left(1 - \frac{9x^2}{2}\right) \approx 1 - 7x^2 + O(x^4) \] 因此 \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cos 2x \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 + O(x^4)}{x^2} = 7 \] 答案：$\boxed{7}$

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式处理三角函数乘积在零点的极限问题，重点在于展开式的准确应用及高阶小项的处理。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，$\cos kx$的泰勒展开式为$1 - \frac{(kx)^2}{2} + O(x^4)$。将$\cos x$、$\cos 2x$、$\cos 3x$分别展开至二次项，相乘后保留到$x^2$的项，从而将分子$1 - \cos x \cos 2x \cos 3x$近似为$7x^2$，最终通过约简$x^2$求得极限。

破题关键点：

正确展开各余弦项至二次项，忽略更高阶小项。
准确计算乘积展开后的二次项系数，注意交叉相乘时的系数叠加。
分子化简后提取$x^2$项，与分母约简后直接得到极限值。

步骤1：展开各余弦函数至二次项
根据泰勒公式，$\cos kx = 1 - \frac{(kx)^2}{2} + O(x^4)$，得：
$\begin{aligned}\cos x &\approx 1 - \frac{x^2}{2}, \\\cos 2x &\approx 1 - 2x^2, \\\cos 3x &\approx 1 - \frac{9x^2}{2}.\end{aligned}$

步骤2：计算三个展开式的乘积
将三个近似式相乘，保留到$x^2$的项：
$\begin{aligned}\cos x \cos 2x \cos 3x &\approx \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\left(1 - 2x^2\right)\left(1 - \frac{9x^2}{2}\right) \\&= 1 \cdot 1 \cdot 1 + \left(-\frac{x^2}{2} - 2x^2 - \frac{9x^2}{2}\right) + O(x^4) \\&= 1 - \left(\frac{1}{2} + 2 + \frac{9}{2}\right)x^2 + O(x^4) \\&= 1 - 7x^2 + O(x^4).\end{aligned}$

步骤3：化简分子并求极限
分子为$1 - \cos x \cos 2x \cos 3x \approx 7x^2$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cos 2x \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 + O(x^4)}{x^2} = 7.$