题目
5.设电流(单位：安培)X通过一个电阻值为3欧姆的电阻器，且Xsim U(5,6)，求该电阻器上消耗的功率Y=3X^2的分布函数F_(Y)(y)与密度函数f_(Y)(y)。
5.设电流(单位：安培)X通过一个电阻值为3欧姆的电阻器，且$X\sim U(5,6)$，求该电阻器上消耗的功率$Y=3X^{2}$的分布函数$F_{Y}(y)$与密度函数$f_{Y}(y)$。
题目解答
答案
已知 $X \sim U(5, 6)$，则 $X$ 的取值范围为 $[5, 6]$。
令 $Y = 3X^2$，则 $Y$ 的取值范围为 $[75, 108]$。
求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$：
1. 当 $y < 75$ 时，$F_Y(y) = 0$；
2. 当 $75 \leq y < 108$ 时，
\[
F_Y(y) = P(5 \leq X \leq \sqrt{\frac{y}{3}}) = \int_5^{\sqrt{\frac{y}{3}}} 1 \, dx = \sqrt{\frac{y}{3}} - 5；
\]
3. 当 $y \geq 108$ 时，$F_Y(y) = 1$。
求 $Y$ 的密度函数 $f_Y(y)$：
\[
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{2\sqrt{3y}} & 75 \leq y < 108 \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
\]
**答案：**
分布函数 $F_Y(y)$：
\[
F_Y(y) = \begin{cases}
0 & y < 75 \\
\sqrt{\frac{y}{3}} - 5 & 75 \leq y < 108 \\
1 & y \geq 108
\end{cases}
\]
密度函数 $f_Y(y)$：
\[
f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{2\sqrt{3y}} & 75 \leq y < 108 \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
\]
解析
考查要点：本题主要考查随机变量函数的分布求解方法，涉及均匀分布的性质及分布函数法的应用。
解题核心思路：
- 确定Y的取值范围：根据$Y=3X^2$和$X\in[5,6]$，推导出$Y\in[75,108]$。
- 分段讨论分布函数：根据$Y$的取值范围，将分布函数$F_Y(y)$分为$y<75$、$75\leq y<108$、$y\geq108$三段处理。
- 利用概率积分求分布函数：在中间区间，通过$P(Y\leq y)=P(X\leq \sqrt{y/3})$计算积分。
- 求导得密度函数：对分布函数分段求导，注意区间外的值为0。
破题关键点：
- 单调性简化计算：由于$X$在$[5,6]$单调递增，$Y=3X^2$也单调递增，从而$Y\leq y$等价于$X\leq \sqrt{y/3}$。
- 均匀分布的积分特性：$X$的密度函数为常数，积分过程简化为区间长度的计算。
确定Y的取值范围
由$Y=3X^2$及$X\in[5,6]$，得：
- 当$X=5$时，$Y=3\times5^2=75$；
- 当$X=6$时，$Y=3\times6^2=108$；
因此，$Y$的取值范围为$[75,108]$。
分布函数$F_Y(y)$的求解
当$y < 75$时
此时$Y$不可能取到，故：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = 0.$
当$75 \leq y < 108$时
$\begin{aligned}F_Y(y) &= P(Y \leq y) = P(3X^2 \leq y) \\&= P\left(X \leq \sqrt{\frac{y}{3}}\right) \quad (\text{因}X>0) \\&= \int_{5}^{\sqrt{\frac{y}{3}}} f_X(x) \, dx \quad (\text{因}X\sim U(5,6)) \\&= \sqrt{\frac{y}{3}} - 5.\end{aligned}$
当$y \geq 108$时
此时$Y$必然取到，故：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = 1.$
密度函数$f_Y(y)$的求解
对$F_Y(y)$分段求导：
- 当$75 \leq y < 108$时：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( \sqrt{\frac{y}{3}} - 5 \right) = \frac{1}{2\sqrt{3y}}.$ - 其他情况：导数为0。