设函数 f(x,y)=} (xy)/(x^2+y^2), & x^2+y^2 neq 0 0, & x^2+y^2=0 ，则在(0,0)点关于f(x,y)叙述正确的 是(）.A. 不连续但偏导存在B. 连续且偏导存在C. 连续但偏导不存在D. 不连续、偏导也不存在

步骤 1：检查函数在 $(0,0)$ 的连续性
函数 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 连续，当且仅当
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = f(0,0). \]
已知 $ f(0,0) = 0 $，我们需要计算 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)$。
考虑沿直线 $ y = kx $ 接近 $(0,0)$：
\[ f(x, kx) = \frac{x \cdot kx}{x^2 + (kx)^2} = \frac{kx^2}{x^2(1 + k^2)} = \frac{k}{1 + k^2}. \]
当 $ x \to 0 $ 时， $ f(x, kx) \to \frac{k}{1 + k^2} $。这个极限值依赖于 $ k $，因此极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)$ 不存在。由于极限不存在，函数 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 不连续。

步骤 2：检查函数在 $(0,0)$ 的偏导数是否存在
函数 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 关于 $ x $ 的偏导数定义为
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h \cdot 0}{h^2 + 0^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0. \]
函数 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 关于 $ y $ 的偏导数定义为
\[ f_y(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 \cdot h}{0^2 + h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0. \]
因此，函数 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 的偏导数存在，且 $ f_x(0,0) = 0 $ 和 $ f_y(0,0) = 0 $。