:23,求二元函数 (x,y)=(x)^2(2+(y)^2)+yln y 的极值.

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括临界点的求解和二阶导数检验法的应用。

解题核心思路：

1. 确定定义域：注意函数中涉及的对数项$\ln y$，要求$y > 0$。
2. 求一阶偏导数，联立方程求解临界点。
3. 计算二阶偏导数，利用二阶导数检验法判断临界点的性质（极小值、极大值或鞍点）。
4. 代入原函数计算极值。

破题关键点：

• 正确求解偏导数，尤其注意乘积法则和链式法则的应用。
• 判别式$AC - B^2$的符号决定临界点的性质：若$AC - B^2 > 0$且$A > 0$，则为极小值点。

步骤1：确定定义域

函数$f(x,y) = x^2(2+y^2) + y \ln y$中，$\ln y$要求$y > 0$，因此定义域为$D = \{(x,y) \mid y > 0\}$。

步骤2：求一阶偏导数并解方程组

1. 对$x$求偏导：
   $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x(2 + y^2)$
   令$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$，得$x = 0$（因$2 + y^2 > 0$）。

2. 对$y$求偏导：
   $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2 y + \ln y + 1$
   将$x = 0$代入，得$\ln y + 1 = 0$，解得$y = \frac{1}{e}$。

   临界点为$(0, \frac{1}{e})$。

步骤3：计算二阶偏导数

1. 二阶混合偏导数：
   $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(2 + y^2), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4xy, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2x^2 + \frac{1}{y}$

2. 代入临界点：
   $A = 2\left(2 + \frac{1}{e^2}\right), \quad B = 0, \quad C = e$

步骤4：二阶导数检验

计算判别式：
$AC - B^2 = 2\left(2 + \frac{1}{e^2}\right) \cdot e - 0^2 = 2e\left(2 + \frac{1}{e^2}\right) > 0$
且$A > 0$，因此$(0, \frac{1}{e})$为极小值点。

步骤5：计算极值

$f\left(0, \frac{1}{e}\right) = 0 + \frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$