试证明曲面√x+√y+√z=√a（a＞0）上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。.
试证明曲面√x+√y+√z=√a（a＞0）上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。
.题目解答
答案
由曲线切面公式,曲面在$（{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})$的切面为
($x$-${x}_{0}$)/($sqrt {{x}_{0}}$)+($y$-${y}_{0}$)/($sqrt {{y}_{0}}$)+($z$-${z}_{0}$)/($sqrt {{z}_{0}}$)=0
将方程整理为截距式,得
$x$/（$sqrt {{x}_{0}}$*（$sqrt {{x}_{0}}$+$sqrt {{y}_{0}}$+$sqrt {{z}_{0}}$))+$y$/($sqrt {{y}_{0}}$*($sqrt {{x}_{0}}$+$sqrt {{y}_{0}}$+$sqrt {{z}_{0}}$))+$z$/($sqrt {{z}_{0}}$*($sqrt {{x}_{0}}$+$sqrt {{y}_{0}}$+$sqrt {{z}_{0}}$))=1
∵$（{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})$在曲面$sqrt {x}+sqrt {y}+sqrt {z}=sqrt {a}$上
∴$sqrt {{x}_{0}}$+$sqrt {{y}_{0}}$+$sqrt {{z}_{0}}$=$sqrt {a}$
∴切面方程可化为：$x$/($sqrt {a}$${x}_{0}$)+$y$/($sqrt {a}$${y}_{0}$)+$z$/($sqrt {a}$$sqrt {{z}_{0}}$)=1
∴它的3个截距之和为：$sqrt {a}$${x}_{0}$+$sqrt {a}$${y}_{0}$+$sqrt {a}$${z}_{0}$=$sqrt {a}$*($sqrt {{x}_{0}}$+$sqrt {{y}_{0}}$+$sqrt {{z}_{0}}$)=$sqrt {a}$*$sqrt {a}$=a
解析
给定曲面方程为$\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{a}$，我们首先需要找到该曲面在点$(x_0, y_0, z_0)$处的切平面方程。根据曲面切平面的公式，该切平面方程为：
$$\frac{x - x_0}{\sqrt{x_0}} + \frac{y - y_0}{\sqrt{y_0}} + \frac{z - z_0}{\sqrt{z_0}} = 0$$
步骤 2：将切平面方程转换为截距式
将上述切平面方程转换为截距式，即：
$$\frac{x}{\sqrt{x_0}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0})} + \frac{y}{\sqrt{y_0}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0})} + \frac{z}{\sqrt{z_0}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0})} = 1$$
步骤 3：利用曲面方程确定切平面截距之和
由于点$(x_0, y_0, z_0)$在曲面$\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{a}$上，因此有$\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0} = \sqrt{a}$。将这个关系代入切平面方程的截距式中，得到：
$$\frac{x}{\sqrt{a}x_0} + \frac{y}{\sqrt{a}y_0} + \frac{z}{\sqrt{a}z_0} = 1$$
因此，切平面在各坐标轴上的截距分别为$\sqrt{a}x_0$、$\sqrt{a}y_0$、$\sqrt{a}z_0$，它们的和为：
$$\sqrt{a}x_0 + \sqrt{a}y_0 + \sqrt{a}z_0 = \sqrt{a}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$$