题目

一、简答题（共10题，100.0分）6.（简答题，10.0分）int_(0)^asqrt(a^2)-x^(2)dx

一、简答题（共10题，100.0分） 6.（简答题，10.0分） $\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$

题目解答

答案

令 $x = a \sin \theta$，则 $dx = a \cos \theta \, d\theta$，积分上下限变为 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。代入得： \[ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta \] 利用恒等式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，得： \[ a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{a^2}{2} \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi a^2}{4} \] 或从几何意义，该积分表示半径为 $a$ 的四分之一圆面积，即 $\frac{\pi a^2}{4}$。 **答案：** $\boxed{\frac{\pi a^2}{4}}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用三角替换法处理根号二次函数的积分，以及几何意义的理解。

解题核心思路：

  1. 三角替换法：当被积函数为$\sqrt{a^2 - x^2}$时，通常令$x = a \sin \theta$，将根号简化为$\cos \theta$，从而转化为三角函数的积分。
  2. 几何意义：积分$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$实际上表示半径为$a$的四分之一圆的面积，直接利用几何公式可快速求解。

破题关键点：

  • 变量替换的选择：根据根号形式选择合适的三角函数替换。
  • 积分公式的应用：利用二倍角公式$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$简化计算。
  • 几何直观的结合：通过几何意义验证结果的正确性。

方法一：三角替换法

  1. 变量替换
    令$x = a \sin \theta$，则$dx = a \cos \theta \, d\theta$。
    当$x = 0$时，$\theta = 0$；当$x = a$时，$\theta = \frac{\pi}{2}$。

  2. 代入积分
    原积分变为：
    $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} \cdot a \cos \theta \, d\theta$
    化简根号部分：
    $\sqrt{a^2 \cos^2 \theta} = a \cos \theta$
    因此积分变为：
    $a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta$

  3. 应用二倍角公式
    利用$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，得：
    $a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$

  4. 分项积分
    $\frac{a^2}{2} \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta \, d\theta \right]$
    计算得：
    $\frac{a^2}{2} \left[ \theta \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{\sin 2\theta}{2} \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \right] = \frac{a^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{\pi a^2}{4}$

方法二：几何意义法

积分$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$表示半径为$a$的四分之一圆的面积，直接计算得：
$\text{面积} = \frac{1}{4} \pi a^2$