题目
七、记曲线段 ^2+(y)^2=4(ygeqslant 0,0leqslant xleqslant 1) 与直线 x=0 x=1 及x轴所围的平面图形为D.-|||-(1)求平面图形D的面积;-|||-(2)求图形D分别绕x轴、y轴旋转一周所成旋转体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
根据题意，平面图形D由曲线段 ${x}^{2}+{y}^{2}=4(y\geqslant 0,0\leqslant x\leqslant 1)$ 与直线 x=0, x=1 及x轴所围成，因此积分区间为 $[0,1]$。
步骤 2：确定被积函数
在区间 $[0,1]$ 上，曲线段 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 可以表示为 $y=\sqrt{4-x^2}$，因此被积函数为 $\sqrt{4-x^2}$。
步骤 3：计算面积
$S={\int }_{0}^{1}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$ (令 $x=\sin t$, $dx=\cos tdt$)。
$=4{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{6}}{\cos }^{2}tdt=2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{6}}(1+\cos 2t)dt=\dfrac {\pi }{3}+\dfrac {\sqrt {3}}{2}$
【答案】
$S=\dfrac {\pi }{3}+\dfrac {\sqrt {3}}{2}$
(2) 求图形D分别绕x轴、y轴旋转一周所成旋转体的体积
【解析】
步骤 1：绕x轴旋转一周的体积
绕x轴旋转一周的体积公式为 ${V}_{x}={\int }_{a}^{b}\pi y^2 dx$，其中 $y=\sqrt{4-x^2}$，积分区间为 $[0,1]$。
步骤 2：绕y轴旋转一周的体积
绕y轴旋转一周的体积公式为 ${V}_{y}={\int }_{a}^{b}2\pi x y dx$，其中 $y=\sqrt{4-x^2}$，积分区间为 $[0,1]$。
步骤 3：计算体积
${V}_{x}={\int }_{0}^{1}\pi (4-{x}^{2})dx=\dfrac {11\pi }{3}$。
${V}_{y}={\int }_{0}^{1}2\pi x\sqrt {4-{x}^{2}}dx=-\dfrac {2\pi }{3}{(4-{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}{|}_{0}^{1}=\dfrac {2\pi (8-3\sqrt {3})}{3}$
根据题意，平面图形D由曲线段 ${x}^{2}+{y}^{2}=4(y\geqslant 0,0\leqslant x\leqslant 1)$ 与直线 x=0, x=1 及x轴所围成，因此积分区间为 $[0,1]$。
步骤 2：确定被积函数
在区间 $[0,1]$ 上，曲线段 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 可以表示为 $y=\sqrt{4-x^2}$，因此被积函数为 $\sqrt{4-x^2}$。
步骤 3：计算面积
$S={\int }_{0}^{1}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$ (令 $x=\sin t$, $dx=\cos tdt$)。
$=4{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{6}}{\cos }^{2}tdt=2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{6}}(1+\cos 2t)dt=\dfrac {\pi }{3}+\dfrac {\sqrt {3}}{2}$
【答案】
$S=\dfrac {\pi }{3}+\dfrac {\sqrt {3}}{2}$
(2) 求图形D分别绕x轴、y轴旋转一周所成旋转体的体积
【解析】
步骤 1：绕x轴旋转一周的体积
绕x轴旋转一周的体积公式为 ${V}_{x}={\int }_{a}^{b}\pi y^2 dx$，其中 $y=\sqrt{4-x^2}$，积分区间为 $[0,1]$。
步骤 2：绕y轴旋转一周的体积
绕y轴旋转一周的体积公式为 ${V}_{y}={\int }_{a}^{b}2\pi x y dx$，其中 $y=\sqrt{4-x^2}$，积分区间为 $[0,1]$。
步骤 3：计算体积
${V}_{x}={\int }_{0}^{1}\pi (4-{x}^{2})dx=\dfrac {11\pi }{3}$。
${V}_{y}={\int }_{0}^{1}2\pi x\sqrt {4-{x}^{2}}dx=-\dfrac {2\pi }{3}{(4-{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}{|}_{0}^{1}=\dfrac {2\pi (8-3\sqrt {3})}{3}$