3. 求f(x)=sqrt(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.

最佳平方逼近的核心是找到一次多项式$P_1(x)=a_0+a_1x$，使得$f(x)-P_1(x)$在区间$[0,1]$上的平方积分最小。解题的关键在于建立并求解法方程，其本质是通过正交性条件（误差与基函数正交）确定系数$a_0$和$a_1$。需要计算基函数$1$和$x$的内积矩阵，以及$f(x)$与基函数的内积，最终解线性方程组得到结果。

法方程的建立

1. 基函数内积矩阵：

   • $\langle 1,1 \rangle = \int_0^1 1 \cdot 1 \, dx = 1$
   • $\langle 1,x \rangle = \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}$
   • $\langle x,x \rangle = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$

2. 右侧项计算：

   • $\langle f,1 \rangle = \int_0^1 \sqrt{x} \cdot 1 \, dx = \frac{2}{3}$
   • $\langle f,x \rangle = \int_0^1 \sqrt{x} \cdot x \, dx = \frac{2}{5}$

解法方程组

法方程为：
$\begin{cases}a_0 + \frac{1}{2}a_1 = \frac{2}{3} \\\frac{1}{2}a_0 + \frac{1}{3}a_1 = \frac{2}{5}\end{cases}$

步骤1：由第一式得 $a_0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}a_1$。

步骤2：代入第二式：
$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}a_1\right) + \frac{1}{3}a_1 = \frac{2}{5}$

步骤3：化简得：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{12}a_1 = \frac{2}{5} \implies a_1 = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

步骤4：回代得：
$a_0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{15} = \frac{4}{15}$

平方误差计算

$\delta^2 = \langle f,f \rangle - \left(a_0 \langle f,1 \rangle + a_1 \langle f,x \rangle\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{4}{15} \cdot \frac{2}{3} + \frac{12}{15} \cdot \frac{2}{5}\right) = \frac{1}{450}$