[题目]设函数-|||-f(x)= ) (x)^2,xleqslant 1 ax+b,xgt 1 . 在 x=1 处-|||-可导,求a,b的值。

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的可导性条件，涉及函数连续性和导数存在的关系。

解题核心思路：

1. 函数连续性：分段函数在分段点处可导，首先必须连续。因此需要保证左极限、右极限和函数值相等。
2. 导数存在性：在分段点处，左右导数必须相等，才能保证导数存在。

破题关键点：

• 连续性条件：通过左右极限相等建立方程。
• 可导性条件：通过左右导数相等建立方程。

步骤1：验证连续性

当$x=1$时，函数值为：
$f(1) = 1^2 = 1$
当$x \to 1^-$时，左极限为：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 = 1$
当$x \to 1^+$时，右极限为：
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a \cdot 1 + b = a + b$
连续性条件要求左极限、右极限和函数值相等：
$a + b = 1 \quad \text{(方程1)}$

步骤2：求导数并保证可导性

当$x \leq 1$时，$f(x) = x^2$，导数为：
$f'(x) = 2x \quad \Rightarrow \quad f'(1^-) = 2 \cdot 1 = 2$
当$x > 1$时，$f(x) = ax + b$，导数为：
$f'(x) = a \quad \Rightarrow \quad f'(1^+) = a$
可导性条件要求左右导数相等：
$a = 2 \quad \text{(方程2)}$

步骤3：联立方程求解

将$a = 2$代入方程1：
$2 + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = -1$