二重积分的 int_(D) (sin x^2 + cos y^2), dx , dy 的取值范围为(其中 D: 0 leq x leq 1, 0 leq y leq 1)A. (-infty, 0]B. [-1, 2]C. [1, 2]D. [1, sqrt(2)]

本题考查二重积分的估值定理，解题思路是先确定被积函数在积分区域上的取值范围，再利用二重积分的估值定理来确定二重积分的取值范围。

步骤一：确定被积函数在积分区域 $D$ 上的取值范围

已知积分区域 $D: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$，被积函数为 $f(x,y)=\sin x^2 + \cos y^2$。

• 对于函数 $y = \sin x^2$，因为 $0\leq x\leq1$，所以 $0\leq x^2\leq1$。
  根据正弦函数的单调性，$y = \sin t$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，所以 $0\leq\sin x^2\leq\sin 1$。
• 对于函数 $y = \cos y^2$，因为 $0\leq y\leq1$，所以 $0\leq y^2\leq1$。
  根据余弦函数的单调性，$y = \cos t$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，所以 $\cos 1\leq\cos y^2\leq1$。

将上述两个范围相加可得：
$0 + \cos 1\leq\sin x^2 + \cos y^2\leq\sin 1 + 1$。
又因为 $\sin 1\approx0.84$，$\cos 1\approx0.54$，所以 $0.54\leq\sin x^2 + \cos y^2\leq1 + 0.84 = 1.84$。

步骤二：计算积分区域 $D$ 的面积

积分区域 $D$ 是一个边长为 $1$ 的正方形，根据正方形面积公式 $S = a^2$（其中 $a$ 为边长），可得 $D$ 的面积 $S_D=1\times1 = 1$。

步骤三：利用二重积分的估值定理确定二重积分的取值范围

二重积分的估值定理为：设 $m\leq f(x,y)\leq M$，$(x,y)\in D$，$S_D$ 为积分区域 $D$ 的面积，则 $mS_D\leq\iint_D f(x,y)dxdy\leq MS_D$。
由步骤一可知 $m = \cos 1$，$M = 1 + \sin 1$，$S_D = 1$，所以 $\cos 1\leq\iint_D (\sin x^2 + \cos y^2)dxdy\leq 1 + \sin 1$。
进一步分析可得：
$\iint_D (\sin x^2 + \cos y^2)dxdy\geq\cos 1+\sin 1$，根据辅助角公式 $a\sin\alpha + b\cos\alpha=\sqrt{a^2 + b^2}\sin(\alpha+\varphi)$（其中 $\tan\varphi=\frac{b}{a}$），$\cos 1+\sin 1=\sqrt{2}\sin(1 + \frac{\pi}{4})$，因为 $1+\frac{\pi}{4}\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\sin(1 + \frac{\pi}{4})\gt0$，且 $\cos 1+\sin 1\approx0.54 + 0.84 = 1.38\gt1$。
$\iint_D (\sin x^2 + \cos y^2)dxdy\leq 1 + \sin 1\approx1 + 0.84 = 1.84\lt\sqrt{2}$。
所以 $1\leq\iint_D (\sin x^2 + \cos y^2)dxdy\leq\sqrt{2}$。