题目

曲线y=(x-1 )3√x^2的凹区间为（）y=(x-1 )3√x^2y=(x-1 )3√x^2y=(x-1 )3√x^2y=(x-1 )3√x^2

曲线 $y=\left(x-1\right)\sqrt[3]{x^2}$ 的凹区间为（）

$A.\left(-\infty,1\right)$

$B.\left(1,+\infty\right)$

$C.\left(-\frac{1}{5},0\right),\left(0,+\infty\right)$

$D.\left(-\frac{1}{5},+\infty\right)$

题目解答

计算一阶导数：

$y^{'}=\left(x-1\right)^{'}x^{\frac{2}{3}}+\left(x-1\right)\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{'}$

$=x^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}\left(x-1\right)x^{-\frac{1}{3}}$

计算二阶导数：

$y''=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{2}{9}\left(x-1\right)x^{-\frac{4}{3}}$

$=x^{-\frac{4}{3}}\left(\frac{10}{9}x+\frac{2}{9}\right)\left(x\ne0\right)$

因为二阶导数的分母不为零，所以 $x\ne0$ 。

根据凹凸性的判定性法则，二阶导数大于零时，该区间函数为凹函数，故当 $x\in\left(-\frac{1}{5},0\right),x\in\left(0,+\infty\right)$ 时该函数为凹函数。故正确答案为 $C$ .