题目
设 f(x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 {x=varphi(t) y=psi(t) f(varphi(t), psi(t)), dt
设 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上有定义且连续，$L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ($\alpha \leq t \leq \beta$)，其中 $\varphi(t), \psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导数，且 $\varphi'^2(t)+ \psi'^2(t)\neq 0$，则曲线积分 $\int_{L} f(x, y)\, ds = (\quad)$。
A. $\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t))\, dt$
B. $\int_{\beta}^{\alpha} f(\varphi(t), \psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+ \psi'^2(t)} \, dt$
C. $\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+ \psi'^2(t)} \, dt$
D. $\int_{\beta}^{\alpha} f(\varphi(t), \psi(t))\, dt$
题目解答
答案
C. $\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+ \psi'^2(t)} \, dt$
解析
步骤 1：理解曲线积分的定义
曲线积分 $\int_L f(x,y) \, ds$ 表示函数 $f(x,y)$ 沿曲线 $L$ 的积分，其中 $ds$ 是曲线 $L$ 上的微小弧长。
步骤 2：应用参数方程
给定曲线 $L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ($\alpha \leq t \leq \beta$)，其中 $\varphi(t), \psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导数，且 $\varphi'^2(t)+ \psi'^2(t)\neq 0$。根据曲线积分的定义，$ds$ 可以表示为 $ds = \sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} \, dt$。
步骤 3：代入并计算
将 $ds$ 的表达式代入曲线积分的定义中，得到 $\int_L f(x,y) \, ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} \, dt$。因此，曲线积分 $\int_{L} f(x, y)\, ds$ 的正确表达式为 $\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+ \psi'^2(t)} \, dt$。
曲线积分 $\int_L f(x,y) \, ds$ 表示函数 $f(x,y)$ 沿曲线 $L$ 的积分，其中 $ds$ 是曲线 $L$ 上的微小弧长。
步骤 2：应用参数方程
给定曲线 $L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ($\alpha \leq t \leq \beta$)，其中 $\varphi(t), \psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导数，且 $\varphi'^2(t)+ \psi'^2(t)\neq 0$。根据曲线积分的定义，$ds$ 可以表示为 $ds = \sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} \, dt$。
步骤 3：代入并计算
将 $ds$ 的表达式代入曲线积分的定义中，得到 $\int_L f(x,y) \, ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} \, dt$。因此，曲线积分 $\int_{L} f(x, y)\, ds$ 的正确表达式为 $\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+ \psi'^2(t)} \, dt$。