题目
#求过程#高数题！！！！救救孩子吧！！！(19) int tan sqrt (1+{x)^2}cdot dfrac (xdx)(sqrt {1+{x)^2}}-|||-(20) int dfrac (arctan sqrt {x)}(sqrt {x)(1+x)}dx-|||-21 int dfrac (1+ln x)({(xln x))^2}dx;-|||-(22 int dfrac (dx)(sin xcos x);-|||-(23)∫cosxsinx-|||-(24)|cos^3xdx-|||-(25) int (cos )^2(omega t+varphi )dt;-|||-bigcirc (16)int sin 2xcos 3xdx;-|||-(27) int cos xcos dfrac (x)(2)dx;-|||-(28)|sin5xsin 7xdx;-|||-(29)int (tan )^3xsec xdx;-|||-(30) int dfrac (dx)({e)^x+(e)^-x}-|||-(31) int dfrac (1-x)(sqrt {9-4{x)^2}}dx;-|||-(32) int dfrac ({x)^3}(9+{x)^2}dx;-|||-(33) int dfrac (dx)(2{x)^2-1};-|||-3 int dfrac (dx)((x+1)(x-2)):-|||-(35) int dfrac (x)({x)^2-x-2}dx;-|||-36) int dfrac ({x)^2dx}(sqrt {{a)^2-(x)^2}}(agt 0) :-|||-(77 int dfrac (dx)(xsqrt {{x)^2-1}};-|||-(38) int dfrac (dx)(sqrt {{({x)^2+1)}^3}}-|||-(39) int dfrac (sqrt {{x)^2-9}}(x)dx;-|||-40) int dfrac (dx)(1+sqrt {2x)};-|||-(41) int dfrac (dx)(1+sqrt {1-{x)^2}};-|||-(42) int dfrac (dx)(x+sqrt {1-{x)^2}}-|||-(43) int dfrac (x-1)({x)^2+2x+3}dx;-|||-(44) int dfrac ({x)^3+1}({({x)^2+1)}^2}dx.
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题目解答
答案
解析
题目（21）：考查分式积分中的换元法。关键在于观察到分子与分母的导数之间的关系，通过令$u = x \ln x$，将积分转化为简单的幂函数积分。
题目（22）：考查三角函数积分技巧。需利用三角恒等式将被积函数转化为易积分的形式，或通过换元法简化表达式。
题目（21）
观察积分形式
原式为：
$\int \frac{1 + \ln x}{(x \ln x)^2} dx$
选择换元变量
令$u = x \ln x$，则：
$du = \frac{d}{dx}(x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
分子恰好为$du$，因此积分可转化为：
$\int \frac{du}{u^2}$
积分计算
$\int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{x \ln x} + C$
题目（22）
原题修正
题目应为：
$\int \frac{2}{\sin 2x} dx$
利用三角恒等式
将被积函数转换为余切函数形式：
$\frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$
换元积分
令$u = 2x$，则$du = 2 dx$，积分变为：
$\int \csc u \, du = \ln |\tan \frac{u}{2}| + C = \ln |\tan x| + C$