题目
设随机变量Xsim U(1,4)，Y表示3次独立重复观察中事件(X>2)出现的次数，求PYgeq2.
设随机变量$X\sim U(1,4)$，Y表示3次独立重复观察中事件{X>2}出现的次数，求$P\{Y\geq2\}$.
题目解答
答案
为了求解 $ P\{Y \geq 2\} $，我们首先需要确定事件 $ \{X > 2\} $ 在一次观察中发生的概率。由于 $ X \sim U(1,4) $，即 $ X $ 服从区间 $[1,4]$ 上的均匀分布，因此 $ X $ 的概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{3} & \text{if } 1 \leq x \leq 4, \\
0 & \text{otherwise}.
\end{cases} \]
事件 $ \{X > 2\} $ 的概率为：
\[ P\{X > 2\} = \int_{2}^{4} \frac{1}{3} \, dx = \left[ \frac{x}{3} \right]_{2}^{4} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}. \]
现在，设 $ Y $ 表示3次独立重复观察中事件 $ \{X > 2\} $ 出现的次数。则 $ Y $ 服从二项分布 $ \text{Binomial}(3, \frac{2}{3}) $。我们 need $ P\{Y \geq 2\} $：
\[ P\{Y \geq 2\} = P\{Y = 2\} + P\{Y = 3\}. \]
根据二项分布的公式 $ P\{Y = k\} = \binom{3}{k} \left( \frac{2}{3} \right)^k \left( \frac{1}{3} \right)^{3-k} $，我们计算 $ P\{Y = 2\} $ 和 $ P\{Y = 3\} $：
\[ P\{Y = 2\} = \binom{3}{2} \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}, \]
\[ P\{Y = 3\} = \binom{3}{3} \left( \frac{2}{3} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^0 = 1 \cdot \frac{8}{27} \cdot 1 = \frac{8}{27}. \]
因此，
\[ P\{Y \geq 2\} = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}. \]
所以，最终答案是：
\[ \boxed{\frac{20}{27}}. \]
解析
考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算和二项分布的概率求解，需要结合独立重复试验的性质进行综合应用。
解题核心思路：
- 确定事件概率：首先计算单次试验中事件$\{X > 2\}$发生的概率，利用均匀分布的性质求解。
- 模型转化：将3次独立重复观察转化为二项分布模型，参数为试验次数$n=3$，成功概率$p=\frac{2}{3}$。
- 计算累积概率：利用二项分布公式计算$P\{Y \geq 2\}$，即求$Y=2$和$Y=3$的概率之和。
破题关键点：
- 均匀分布区间长度：正确计算$\{X > 2\}$对应的区间长度占总区间长度的比例。
- 二项分布公式应用：准确代入组合数和概率幂次进行计算。
步骤1：计算事件$\{X > 2\}$的概率
由于$X \sim U(1,4)$，其概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} & 1 \leq x \leq 4, \\0 & \text{其他}.\end{cases}$
事件$\{X > 2\}$的概率为区间$[2,4]$的长度占总区间$[1,4]$的比例：
$P\{X > 2\} = \int_{2}^{4} \frac{1}{3} \, dx = \frac{4 - 2}{4 - 1} = \frac{2}{3}.$
步骤2：确定$Y$的分布
$Y$表示3次独立重复试验中事件$\{X > 2\}$出现的次数，因此$Y \sim \text{Binomial}(3, \frac{2}{3})$。
步骤3：计算$P\{Y \geq 2\}$
根据二项分布公式：
$P\{Y = k\} = \binom{3}{k} \left( \frac{2}{3} \right)^k \left( \frac{1}{3} \right)^{3 - k}.$
分别计算$P\{Y = 2\}$和$P\{Y = 3\}$：
- 当$k=2$时：
$P\{Y = 2\} = \binom{3}{2} \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}.$ - 当$k=3$时：
$P\{Y = 3\} = \binom{3}{3} \left( \frac{2}{3} \right)^3 = 1 \cdot \frac{8}{27} = \frac{8}{27}.$
求和：
$P\{Y \geq 2\} = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}.$