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ol如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(  )A. 在Q点最大B. 在Q点最小C. 先减小后增大D. 先增大后减小

菁优网如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(  )
  • A. 在Q点最大
  • B. 在Q点最小
  • C. 先减小后增大
  • D. 先增大后减小

题目解答

答案

解:设圆环的半径为R,小环下滑的高度为h,则h≤2R
小环在下滑过程中,根据动能定理$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得$v=\sqrt{2gh}$
小环在最高处静止时,小环对圆环的作用力F1=mg
小环从最高处到圆心等高处的过程中,设重力与半径方向成θ角,如图所示:
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小环下滑的高度h=R(1-cosθ)
小环的速度$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2gR(1-cosθ)}$
根据牛顿第二定律$mgcosθ-F=m\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得F=3mgcosθ-2mg
θ增大,cosθ减小,作用力F先减小,再反方向增大;
小环在圆心等高处时${F}_{2}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}=m\frac{(\sqrt{2gR})^{2}}{R}=2mg$
小环从圆心等高处到最低处的过程中,设重力与半径方向成α角,如图所示:
菁优网
小环下滑的高度h=R(1+cosα)
小环的速度$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2gR(1+cosα)}$
根据牛顿第二定律$F-mgcosα=m\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据联立解得F=2mg+3mgcosα
α减小,cosα增大,作用力F增大;
小环在最低处时${F}_{3}-mg=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}=m\frac{(\sqrt{4gR})^{2}}{R}=4mg$
解得F3=5mg
根据牛顿第三定律,综合上述分析,小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小,后增大,故ABD错误,C正确。
故选:C。

解析

步骤 1:确定小环的运动状态和受力情况
小环在大圆环上自由下滑,受到重力和大圆环的支持力。由于大圆环光滑,小环在下滑过程中只受重力和法向支持力的作用。支持力的方向始终垂直于大圆环的切线方向,即垂直于小环的运动方向。

步骤 2:分析小环在不同位置的受力情况
- 在最高点,小环静止,支持力等于重力,即F_1=mg。
- 在Q点,小环的速度达到最大,支持力和重力的合力提供向心力,支持力大于重力,即F_2>mg。
- 在最低点,小环的速度再次达到最大,支持力和重力的合力提供向心力,支持力大于重力,即F_3>mg。

步骤 3:分析小环在下滑过程中的支持力变化
- 从最高点到Q点,小环的速度逐渐增大,支持力逐渐减小。
- 从Q点到最低点,小环的速度逐渐增大,支持力逐渐增大。

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