题目
1.微分方程(1-(x)^2)(y)^2dfrac (dy)(dx)+(2(x)^2-1)(y)^3=(x)^3是(1-(x)^2)(y)^2dfrac (dy)(dx)+(2(x)^2-1)(y)^3=(x)^3 (1-(x)^2)(y)^2dfrac (dy)(dx)+(2(x)^2-1)(y)^3=(x)^3 (1-(x)^2)(y)^2dfrac (dy)(dx)+(2(x)^2-1)(y)^3=(x)^3 (1-(x)^2)(y)^2dfrac (dy)(dx)+(2(x)^2-1)(y)^3=(x)^3 (1-(x)^2)(y)^2dfrac (dy)(dx)+(2(x)^2-1)(y)^3=(x)^3
1.微分方程
是
题目解答
答案
观察题目中给出的微分方程，我们发现它不是可分离变量方程，也不是线性方程，更不是全微分方程。但是，如果我们将其改写为 
的形式，就可以发现它是一个伯努利方程。
因此，本题的答案为（C）。
解析
步骤 1：分析方程形式
观察题目中给出的微分方程$x(1-{x}^{2}){y}^{2}\dfrac {dy}{dx}+(2{x}^{2}-1){y}^{3}={x}^{3}$，我们发现它不是可分离变量方程，也不是线性方程，更不是全微分方程。因为可分离变量方程可以写成$M(x)dx+N(y)dy=0$的形式，线性方程可以写成$y'+P(x)y=Q(x)$的形式，全微分方程可以写成$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$的形式，而题目中的方程不符合这些形式。
步骤 2：改写方程
将方程改写为 $\dfrac {dy}{dx}+\dfrac {(2{x}^{2}-1)y}{3x(1-{x}^{2})}=\dfrac {{x}^{3}}{3x(1-{x}^{2}){y}^{2}}$ 的形式，可以发现它是一个伯努利方程。伯努利方程的一般形式为$y'+P(x)y=Q(x)y^n$，其中$n\neq 0,1$。将方程改写后，可以看到它符合伯努利方程的形式，其中$P(x)=\dfrac {(2{x}^{2}-1)}{3x(1-{x}^{2})}$，$Q(x)=\dfrac {{x}^{3}}{3x(1-{x}^{2})}$，$n=-2$。
观察题目中给出的微分方程$x(1-{x}^{2}){y}^{2}\dfrac {dy}{dx}+(2{x}^{2}-1){y}^{3}={x}^{3}$，我们发现它不是可分离变量方程，也不是线性方程，更不是全微分方程。因为可分离变量方程可以写成$M(x)dx+N(y)dy=0$的形式，线性方程可以写成$y'+P(x)y=Q(x)$的形式，全微分方程可以写成$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$的形式，而题目中的方程不符合这些形式。
步骤 2：改写方程
将方程改写为 $\dfrac {dy}{dx}+\dfrac {(2{x}^{2}-1)y}{3x(1-{x}^{2})}=\dfrac {{x}^{3}}{3x(1-{x}^{2}){y}^{2}}$ 的形式，可以发现它是一个伯努利方程。伯努利方程的一般形式为$y'+P(x)y=Q(x)y^n$，其中$n\neq 0,1$。将方程改写后，可以看到它符合伯努利方程的形式，其中$P(x)=\dfrac {(2{x}^{2}-1)}{3x(1-{x}^{2})}$，$Q(x)=\dfrac {{x}^{3}}{3x(1-{x}^{2})}$，$n=-2$。