计算 iint dfrac (x)({y)^2}dsigma , 其中D是由 y=2 ,y=x ,xy=1 所围成的闭区域.

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及积分区域的确定和积分顺序的选择。需要根据给定曲线交点划分积分区域，并选择适当的积分次序简化计算。

解题核心思路：

1. 确定积分区域D的边界：通过联立方程找到交点，明确区域形状。
2. 选择积分次序：优先选择使积分限表达式简单的次序（本题选择先对$x$积分，再对$y$积分）。
3. 分步计算积分：先对$x$积分，再对$y$积分，注意代数运算的准确性。

破题关键点：

• 交点计算：确定$y=2$、$y=x$、$xy=1$的交点，划分积分区域。
• 积分限表达：正确写出$x$和$y$的积分上下限。

步骤1：确定积分区域D

1. 联立方程找交点：
   • $y=2$与$y=x$交于$(2,2)$。
   • $y=2$与$xy=1$交于$(\frac{1}{2},2)$。
   • $y=x$与$xy=1$交于$(1,1)$。
2. 区域形状：D是由三点$(1,1)$、$(2,2)$、$(\frac{1}{2},2)$围成的闭区域，且在$y$从$1$到$2$时，$x$的范围为$\frac{1}{y} \leq x \leq y$。

步骤2：设定积分次序

选择先对$x$积分，再对$y$积分，积分区域表示为：
$D: \ 1 \leq y \leq 2, \ \frac{1}{y} \leq x \leq y.$

步骤3：计算二重积分

1. 对$x$积分：
   $\int_{\frac{1}{y}}^{y} \frac{x}{y^2} \, dx = \frac{1}{y^2} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{1}{y}}^{y} = \frac{1}{y^2} \left( \frac{y^2}{2} - \frac{1}{2y^2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{y^4} \right).$
2. 对$y$积分：
   $\int_{1}^{2} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{y^4} \right) dy = \frac{1}{2} \left[ y + \frac{1}{3y^3} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{49}{24} - \frac{4}{3} \right) = \frac{17}{48}.$