23. (3.0分)由方程xyz+sqrt(x^2)+y^(2+z^2)=sqrt(2)确定的隐函数为z=f(x,y)，则z=f(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=dx+sqrt(2)dy.A 对B 错

为了确定由方程 $xyz + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2}$ 定义的隐函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(1, 0, -1)$ 处的全微分 $dz$，我们需要遵循以下步骤： 1. **对隐函数进行全微分：** 给定的方程是： \[ xyz + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2} \] 我们对 $x$，$y$ 和 $z$ 进行全微分： \[ d(xyz) + d(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) = d(\sqrt{2}) \] 由于 $\sqrt{2}$ 是一个常数，其微分 $d(\sqrt{2}) = 0$。因此，我们有： \[ d(xyz) + d(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) = 0 \] 2. **计算 $d(xyz)$：** 使用乘积法则，我们得到： \[ d(xyz) = yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz \] 3. **计算 $d(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})$：** 设 $u = x^2 + y^2 + z^2$。那么 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{u}$。使用链式法则，我们得到： \[ d(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du \] 其中 $du = 2x \, dx + 2y \, dy + 2z \, dz$。因此： \[ d(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} (2x \, dx + 2y \, dy + 2z \, dz) = \frac{x \, dx + y \, dy + z \, dz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \] 4. **将 $d(xyz)$ 和 $d(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})$ 代回全微分方程：** \[ yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz + \frac{x \, dx + y \, dy + z \, dz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = 0 \] 5. **在点 $(1, 0, -1)$ 处求解 $dz$：** 将 $x = 1$，$y = 0$ 和 $z = -1$ 代入方程： \[ (0)(-1) \, dx + (1)(-1) \, dy + (1)(0) \, dz + \frac{1 \, dx + 0 \, dy + (-1) \, dz}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = 0 \] 简化各项： \[ 0 \, dx - 1 \, dy + 0 \, dz + \frac{dx - dz}{\sqrt{2}} = 0 \] 合并同类项： \[ -dy + \frac{dx}{\sqrt{2}} - \frac{dz}{\sqrt{2}} = 0 \] 重新排列以求解 $dz$： \[ -\frac{dz}{\sqrt{2}} = dy - \frac{dx}{\sqrt{2}} \] \[ dz = -\sqrt{2} \left( dy - \frac{dx}{\sqrt{2}} \right) \] \[ dz = -\sqrt{2} \, dy + dx \] \[ dz = dx - \sqrt{2} \, dy \] 6. **与给定的全微分进行比较：** 给定的全微分是 $dz = dx + \sqrt{2} \, dy$。我们找到的全微分是 $dz = dx - \sqrt{2} \, dy$。 由于我们找到的全微分与给定的全微分不同，答案是： \[ \boxed{B} \]