lim _(xarrow 0)((1+x))^dfrac (3{x)}=；

考查要点：本题主要考查利用重要极限公式求解指数函数的极限问题，需要掌握自然对数底数$e$的定义形式及其变形应用。

解题核心思路：
题目中的极限形式与重要极限$\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$相似，但指数部分为$\frac{3}{x}$。通过调整指数结构或变量替换，将其转化为标准形式，即可直接应用重要极限公式求解。

破题关键点：

1. 识别重要极限的变形：将原式拆分为$(1+x)^{\frac{1}{x}}$的三次方形式。
2. 利用等价无穷小替换（可选方法）：对指数部分取自然对数后，利用$\ln(1+x) \sim x$（当$x \to 0$时）简化计算。

方法一：直接应用重要极限公式

原式为$\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{3}{x}}$，可变形为：
$\left[\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^3 = e^3.$
关键步骤：

1. 拆分指数：将$\frac{3}{x}$写成$3 \cdot \frac{1}{x}$，即$(1+x)^{\frac{3}{x}} = \left[(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^3$。
2. 代入重要极限：已知$\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，因此整体结果为$e^3$。

方法二：取对数法

设原式为$L = \lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{3}{x}}$，取自然对数得：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \ln(1+x).$
利用等价无穷小$\ln(1+x) \sim x$（当$x \to 0$时），代入得：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \cdot x = 3.$
因此，$L = e^{\ln L} = e^3$。
关键步骤：

1. 对数转换：将指数形式转化为线性表达式，便于极限计算。
2. 等价无穷小替换：简化极限表达式，直接求出$\ln L$的值。