int dfrac (1)(1+cos 2x)dx=______.

考查要点：本题主要考查三角函数的积分，特别是利用三角恒等式简化被积函数的能力，以及对基本积分公式的掌握。

解题核心思路：

1. 利用二倍角公式将分母中的$\cos 2x$转化为关于$\cos x$的表达式，简化积分形式。
2. 识别基本积分形式，将$\sec^2 x$的积分与已知原函数$\tan x$联系起来。

破题关键点：

• 正确应用二倍角公式：$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，将分母化简为$2\cos^2 x$。
• 将被积函数转化为$\sec^2 x$的形式，直接应用基本积分公式。

步骤1：化简分母
利用二倍角公式$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，代入分母：
$1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x.$

步骤2：转化积分形式
原积分变为：
$\int \frac{1}{1+\cos 2x} \, dx = \int \frac{1}{2\cos^2 x} \, dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx.$

步骤3：直接积分
根据基本积分公式$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$，得：
$\frac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} \tan x + C.$