题目
10. (8分) 求向量组 a_(1)=(1,2,-1,1)^T,a_(2)=(2,0,t,0)^T,a_(3)=(0,-4,5,-2)^T,a_(4)=(3,-2,t+4,-1)^T的秩和一个最大线性无关组.
10. (8分) 求向量组
$a_{1}=(1,2,-1,1)^{T},a_{2}=(2,0,t,0)^{T},a_{3}=(0,-4,5,-2)^{T},a_{4}=(3,-2,t+4,-1)^{T}$的秩和一个最大线性无关组.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $ A $，进行初等行变换：
1. $ t = 3 $ 时，矩阵化简后第三行全为零，秩为2，最大线性无关组为 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $。
2. $ t \neq 3 $ 时，矩阵化简后第三行非零，秩为3，最大线性无关组为 $ \alpha_1 $，$ \alpha_2 $，和 $ \alpha_3 $。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
t = 3 & \text{秩为2，最大无关组：} \alpha_1, \alpha_2 \\
t \neq 3 & \text{秩为3，最大无关组：} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量组 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$。
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & -2 \\ -1 & t & 5 & t+4 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为行阶梯形矩阵。
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & -4 & -8 \\ 0 & t+2 & 5 & t+7 \\ 0 & -2 & -2 & -4 \end{pmatrix} \]
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & t+2 & 5 & t+7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3-t & 3-t \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：分析矩阵的秩
根据行阶梯形矩阵的非零行数，可以确定矩阵的秩。
1. 当 $t = 3$ 时，矩阵化简后第三行全为零，秩为2，最大线性无关组为 $a_1$ 和 $a_2$。
2. 当 $t \neq 3$ 时，矩阵化简后第三行非零，秩为3，最大线性无关组为 $a_1$，$a_2$，和 $a_3$。
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量组 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$。
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & -2 \\ -1 & t & 5 & t+4 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为行阶梯形矩阵。
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & -4 & -8 \\ 0 & t+2 & 5 & t+7 \\ 0 & -2 & -2 & -4 \end{pmatrix} \]
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & t+2 & 5 & t+7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3-t & 3-t \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：分析矩阵的秩
根据行阶梯形矩阵的非零行数，可以确定矩阵的秩。
1. 当 $t = 3$ 时，矩阵化简后第三行全为零，秩为2，最大线性无关组为 $a_1$ 和 $a_2$。
2. 当 $t \neq 3$ 时，矩阵化简后第三行非零，秩为3，最大线性无关组为 $a_1$，$a_2$，和 $a_3$。