题目

9-16 作简谐振动的物体,由平衡位置向x轴正方 -0 4.0 t/s-|||-向运动,试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的-|||-几分之几?(1)由平衡位置到最大位移处;(2)由平衡-|||-位置到 x=A/2 处;(3)由 x=A/2 处到最大位移处.-|||-习题 9-15 图

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查简谐振动的运动学特征，特别是物体在不同位移位置间运动所需时间的计算。
解题核心思路：

  1. 确定振动方程：根据初始条件（平衡位置出发向正方向运动），选择合适的振动方程形式（如$x = A \sin(\omega t)$）。
  2. 位移与时间关系：利用三角函数关系，将位移条件转化为时间方程求解。
  3. 时间差与周期分数：计算时间差后，除以周期$T = \frac{2\pi}{\omega}$，得到时间占周期的比例。
    破题关键：
  • 相位分析：明确物体运动方向与振动方程的相位关系。
  • 最短时间路径：确保所求时间对应物体沿单一方向运动的最短路径。

第（1）题：平衡位置到最大位移处

振动方程：$x = A \sin(\omega t)$。

  • 平衡位置对应$t=0$，此时$x=0$。
  • 最大位移处对应$x=A$，即$\sin(\omega t) = 1$，解得$\omega t = \frac{\pi}{2}$，对应时间$t = \frac{\pi}{2\omega}$。
  • 周期分数：$\frac{t}{T} = \frac{\frac{\pi}{2\omega}}{\frac{2\pi}{\omega}} = \frac{1}{4}$。

第（2）题：平衡位置到$x = \frac{A}{2}$

  • 位移条件：$A \sin(\omega t) = \frac{A}{2}$，即$\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$。
  • 解方程：$\omega t = \frac{\pi}{6}$（第一次到达$x = \frac{A}{2}$），对应时间$t = \frac{\pi}{6\omega}$。
  • 周期分数：$\frac{t}{T} = \frac{\frac{\pi}{6\omega}}{\frac{2\pi}{\omega}} = \frac{1}{12}$。

第（3）题：$x = \frac{A}{2}$到最大位移处

  • 初始时间：$t_1 = \frac{\pi}{6\omega}$（对应$x = \frac{A}{2}$）。
  • 终了时间：$t_2 = \frac{\pi}{2\omega}$（对应$x = A$）。
  • 时间差：$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$。
  • 周期分数：$\frac{\Delta t}{T} = \frac{\frac{\pi}{3\omega}}{\frac{2\pi}{\omega}} = \frac{1}{6}$。