题目
1.计算 iint xdydz+ydxdz+zdxdy, 其中∑为 ^2+(y)^2+(z)^2=(a)^2 的外侧.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题
题目要求计算的是一个向量场 $\vec{F} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ 在球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ 的外侧上的曲面积分。根据高斯散度定理，这个曲面积分可以转化为该向量场在球体内部的体积积分。
步骤 2：应用高斯散度定理
高斯散度定理表明，对于一个闭合曲面S和一个向量场$\vec{F}$，曲面积分$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$等于该向量场在闭合曲面S所包围的体积V内的散度的体积积分$\iiint_V \nabla \cdot \vec{F} dV$。对于向量场$\vec{F} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$，其散度$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3$。
步骤 3：计算体积积分
由于散度$\nabla \cdot \vec{F} = 3$是一个常数，体积积分$\iiint_V 3 dV$就等于3乘以球体的体积。球体的体积$V = \frac{4}{3}\pi a^3$，因此体积积分为$3 \times \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3$。
题目要求计算的是一个向量场 $\vec{F} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ 在球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ 的外侧上的曲面积分。根据高斯散度定理，这个曲面积分可以转化为该向量场在球体内部的体积积分。
步骤 2：应用高斯散度定理
高斯散度定理表明，对于一个闭合曲面S和一个向量场$\vec{F}$，曲面积分$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$等于该向量场在闭合曲面S所包围的体积V内的散度的体积积分$\iiint_V \nabla \cdot \vec{F} dV$。对于向量场$\vec{F} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$，其散度$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3$。
步骤 3：计算体积积分
由于散度$\nabla \cdot \vec{F} = 3$是一个常数，体积积分$\iiint_V 3 dV$就等于3乘以球体的体积。球体的体积$V = \frac{4}{3}\pi a^3$，因此体积积分为$3 \times \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3$。