计算__-|||-lim _(xarrow infty )((sin dfrac {1)(x)+cos dfrac (1)(x))}^x

考查要点：本题主要考查无穷极限的求解方法，特别是涉及三角函数与指数函数结合的复合极限。需要灵活运用重要极限公式、变量代换以及洛必达法则。

解题核心思路：

1. 变形为自然指数形式：将原式转化为以$e$为底的指数形式，利用$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$的结构。
2. 变量代换：令$t = \frac{1}{x}$，将极限转化为关于$t \to 0$的形式，简化计算。
3. 洛必达法则：处理$\frac{0}{0}$型不定式，求解关键步骤中的极限。

破题关键点：

• 识别三角函数的泰勒展开：当$x \to \infty$时，$\sin \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$，$\cos \frac{1}{x} \approx 1 - \frac{1}{2x^2}$，简化表达式。
• 构造重要极限形式：通过变形，将原式转化为$\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}}$的结构。

步骤1：变量代换
令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$。原式变为：
$\lim_{t \to 0} (\sin t + \cos t)^{\frac{1}{t}}$

步骤2：取自然对数
对表达式取自然对数，转化为指数形式：
$\exp\left( \lim_{t \to 0} \frac{\ln(\sin t + \cos t)}{t} \right)$

步骤3：应用洛必达法则
分子$\ln(\sin t + \cos t)$当$t \to 0$时趋近于$\ln 2$，但直接代入得$\frac{\ln 2}{0}$型不定式。对分子分母分别求导：
$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{dt} \ln(\sin t + \cos t)}{\frac{d}{dt} t} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - \sin t}{1} = \cos 0 - \sin 0 = 1$

步骤4：还原指数形式
最终结果为：
$\exp(1) = e$