19.设 m=3i+5j+8k ,n=2i-4j-7k 和 p=5i+j-4k ,求向量 a=4m-|||-+3n-p 在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

考查要点：本题主要考查向量的线性运算及投影、分向量的概念。
解题思路：

1. 向量线性运算：先分别计算向量的线性组合（如4m、3n），再进行加减运算得到向量a。
2. 投影与分向量：
   • x轴投影：向量a的i分量的系数。
   • y轴分向量：向量a的j分量的向量形式（即系数乘以j）。
     关键点：正确进行向量的分量运算，并区分投影（标量）与分向量（向量）。

步骤1：计算4m

$4\mathbf{m} = 4(3\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 8\mathbf{k}) = 12\mathbf{i} + 20\mathbf{j} + 32\mathbf{k}$

步骤2：计算3n

$3\mathbf{n} = 3(2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 7\mathbf{k}) = 6\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 21\mathbf{k}$

步骤3：计算4m + 3n

$4\mathbf{m} + 3\mathbf{n} = (12\mathbf{i} + 6\mathbf{i}) + (20\mathbf{j} - 12\mathbf{j}) + (32\mathbf{k} - 21\mathbf{k}) = 18\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 11\mathbf{k}$

步骤4：计算4m + 3n - p

$\begin{aligned}\mathbf{a} &= (18\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 11\mathbf{k}) - (5\mathbf{i} + \mathbf{j} - 4\mathbf{k}) \\&= (18 - 5)\mathbf{i} + (8 - 1)\mathbf{j} + (11 + 4)\mathbf{k} \\&= 13\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 15\mathbf{k}\end{aligned}$

步骤5：求x轴投影

向量$\mathbf{a}$的x轴投影为i分量的系数，即13。

步骤6：求y轴分向量

向量$\mathbf{a}$的y轴分向量为j分量的向量形式，即$7\mathbf{j}$。