已知微分方程：① x^2 y^(5) + y'' - 2yy' + x = 0；② xy''' + x(y')^5 - y^4 y' = y^6；③ ((dy)/(dx))^3 + x (dy)/(dx) - 3y^2 = 0；④ sin((d^2 y)/(dx^2)) + e^y = x，它们的阶数依次是 ____。
已知微分方程：① $x^2 y^{(5)} + y'' - 2yy' + x = 0$；② $xy''' + x(y')^5 - y^4 y' = y^6$；③ $\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + x \frac{dy}{dx} - 3y^2 = 0$；④ $\sin\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right) + e^y = x$，它们的阶数依次是 ____。
题目解答
答案
我们来逐个分析这四个微分方程的阶数（order）。
微分方程的阶数定义：
微分方程的阶数是指方程中出现的最高阶导数的阶数，即最高阶导数的阶次。
① $x^2 y^{(5)} + y'' - 2yy' + x = 0$
分析：
- $y^{(5)}$ 是五阶导数；
- $y''$ 是二阶导数；
- $y'$ 是一阶导数；
- $y$ 是零阶导数；
- 所以，最高阶导数是五阶导数 $y^{(5)}$。
✅ 阶数是：5
② $xy''' + x(y')^5 - y^4 y' = y^6$
分析：
- $y'''$ 是三阶导数；
- $(y')^5$ 是一阶导数的五次幂；
- $y^4 y'$ 是零阶导数乘以一阶导数；
- 所以，最高阶导数是三阶导数 $y'''$。
✅ 阶数是：3
③ $\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + x \frac{dy}{dx} - 3y^2 = 0$
分析：
- $\frac{dy}{dx}$ 是一阶导数；
- 它的三次方 $(\frac{dy}{dx})^3$ 也是一阶导数的幂；
- 没有出现更高阶导数；
- 所以，最高阶导数是一阶导数。
✅ 阶数是：1
④ $\sin\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right) + e^y = x$
分析：
- $\frac{d^2 y}{dx^2}$ 是二阶导数；
- $\sin(\cdot)$ 是对二阶导数的函数；
- 没有更高阶导数；
- 所以，最高阶导数是二阶导数。
✅ 阶数是：2
最终答案：
这四个微分方程的阶数依次是：
$\boxed{5,\ 3,\ 1,\ 2}$
解析
本题考查微分方程阶数的概念。解题思路是明确微分方程阶数的定义，即方程中出现的最高阶导数的阶数，然后依次分析每个给定的微分方程，找出其中最高阶导数的阶数。
对于方程① $x^2 y^{(5)} + y'' - 2yy' + x = 0$
- 方程中 $y^{(5)}$ 表示五阶导数，$y''$ 表示二阶导数，$y'$ 表示一阶导数，$y$ 为零阶导数。
- 比较各阶导数的阶数，$5>2>1>0$，所以最高阶导数是五阶导数 $y^{(5)}$，该方程的阶数是 $5$。
对于方程② $xy''' + x(y')^5 - y^4 y' = y^6$
- 方程中 $y'''$ 表示三阶导数，$(y')^5$ 是一阶导数的五次幂，$y^4 y'$ 是零阶导数乘以一阶导数，$y^6$ 为零阶导数的六次幂。
- 比较各阶导数的阶数，$3>1>0$，所以最高阶导数是三阶导数 $y'''$，该方程的阶数是 $3$。
对于方程③ $\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + x \frac{dy}{dx} - 3y^2 = 0$
- 方程中 $\frac{dy}{dx}$ 表示一阶导数，$\left(\frac{dy}{dx}\right)^3$ 是一阶导数的三次方，$y^2$ 为零阶导数的二次方。
- 比较各阶导数的阶数，$1>0$，所以最高阶导数是一阶导数，该方程的阶数是 $1$。
对于方程④ $\sin\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right) + e^y = x$
- 方程中 $\frac{d^2 y}{dx^2}$ 表示二阶导数，$e^y$ 为零阶导数的指数函数，$x$ 为自变量。
- 比较各阶导数的阶数，$2>0$，所以最高阶导数是二阶导数，该方程的阶数是 $2$。