1.设 (x)=dfrac ({x)^2-x}(|x|({x)^2-1)} 则f(x)的可去间断点是 () .-|||-(A) =0; (B) =-1;-|||-(C) =1; (D) =2.

题目考察知识

函数的间断点类型，特别是可去间断点的判断方法：可去间断点需满足函数在该点极限存在，但函数值不存在或不等于极限值。

解题思路

1. 确定函数定义域：
   函数 $f(x)=\dfrac{x^2 - x}{|x|(x^2 - 1)}$ 的分母为 $|x|(x^2 - 1)$，分母为0时函数无定义，即：
   $|x|=0 \Rightarrow x=0$，$x^2 - 1=0 \Rightarrow x=\pm1$，故定义域为 $x \in (-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$，间断点为 $x=-1,0,1$。

2. 分析各间断点类型

   • $x=-1$：
     计算左极限 $\lim_{x \to -1^-} f(x)$ 和右极限 $\lim_{x \to -1^+} f(x)$：
     $f(x)=\dfrac{x(x-1)}{|x|(x-1)(x+1)}$，当 $x \to -1$ 时，$x-1 \neq 0$，约分得 $f(x)=\dfrac{x}{|x|(x+1)}$。

     • $x \to -1^-$：$|x|=-x$，则 $f(x)=\dfrac{x}{-x(x+1)}=\dfrac{1}{-(x+1)} \to +\infty$；
     • $x \to -1^+$：$|x|=x$，则 $f(x)=\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x+1} \to +\infty$。
       左右极限均为无穷，故 $x=-1$ 为无穷间断点，排除B。

   • $x=0$：
     计算左右极限：

     • $x \to 0^-$：$|x|=-x$，$f(x)=\dfrac{x(x-1)}{-x(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{-(x+1)} \to -1$；
     • $x \to 0^+$：$|x|=x$，$f(x)=\dfrac{x(x-1)}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{x+1} \to 1$。
       左右极限不相等，故 $x=0$ 为跳跃间断点，排除A。

   • $x=1$：
     计算极限：
     $x \to 1$ 时，$x \neq 0,\pm1$，约分得 $f(x)=\dfrac{x}{|x|(x+1)}$。
     $x \to 1$ 时，$|x|=x$，故 $f(x)=\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x+1} \to \dfrac{1}{2}$。
     极限存在，但 $f(x)$ 在 $x=1$ 处无定义，故 $x=1$ 为可去间断点，选C。

   • $x=2$：
     $x=2$ 在定义域内，函数连续，非间断点，排除D。