5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为sqrt(3)，则圆锥的体积为（）A. 2sqrt(3)piB. 3sqrt(3)piC. 6sqrt(3)piD. 9sqrt(3)pi

本题考查圆柱和圆锥的侧面积公式以及圆锥的体积公式，解题思路是先设出圆柱和圆锥的底面半径，根据它们侧面积相等的关系求出半径，再利用圆锥体积公式计算出圆锥体积。

1. 设圆柱和圆锥的底面半径为$r$。
   • 圆柱的侧面积公式为$S_{圆柱侧}=2\pi r\cdot h_{圆柱}$，已知圆柱的高$h_{圆柱}=\sqrt{3}$，所以圆柱的侧面积$S_{圆柱侧}=2\pi r\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}\pi r$。
   • 圆锥的母线长$l$，根据勾股定理可得$l = \sqrt{r^{2}+h_{圆锥}^{2}}$，已知圆锥的高$h_{圆锥}=\sqrt{3}$，则$l = \sqrt{r^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{r^{2}+3}$。
   • 圆锥的侧面积公式为$S_{圆锥侧}=\pi rl$，将$l = \sqrt{r^{2}+3}$代入可得$S_{圆锥侧}=\pi r\sqrt{r^{2}+3}$。
2. 因为圆柱和圆锥侧面积相等，即$S_{圆柱侧}=S_{圆锥侧}$，所以$2\sqrt{3}\pi r=\pi r\sqrt{r^{2}+3}$。
   • 由于$r\gt0$（半径不能为$0$），方程两边同时除以$\pi r$，得到$2\sqrt{3}=\sqrt{r^{2}+3}$。
   • 两边同时平方可得$(2\sqrt{3})^{2}=r^{2}+3$，即$12 = r^{2}+3$。
   • 移项可得$r^{2}=12 - 3 = 9$，解得$r = 3$（$r=-3$舍去，因为半径为正数）。
3. 圆锥的体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{圆锥}$。
   • 把$r = 3$，$h_{圆锥}=\sqrt{3}$代入公式可得：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}\pi\times3^{2}\times\sqrt{3}$。
   • 先计算$3^{2}=9$，则$V_{圆锥}=\frac{1}{3}\pi\times9\times\sqrt{3}$。
   • 再计算$\frac{1}{3}\times9 = 3$，所以$V_{圆锥}=3\sqrt{3}\pi$。