5.求曲线 ^2=2mx, ^2=m-x 在点(x0,y0,z0)处的切线及法平面方程.

考查要点：本题要求空间曲线在指定点的切线方程及法平面方程，核心思路是利用曲线在点处的切线方向向量。该方向向量由曲线所在两个曲面的法向量叉乘得到。

关键步骤：

1. 确定两个曲面的法向量：分别对两个曲面方程求梯度。
2. 计算叉乘：得到切线方向向量。
3. 简化方向向量：调整分量形式，便于书写方程。
4. 构建方程：利用方向向量和点坐标写出切线方程和法平面方程。

1. 求曲面法向量

• 第一个曲面：$y^2 = 2mx$，改写为$F_1 = y^2 - 2mx = 0$，梯度为：
  $\nabla F_1 = \left( -2m, \, 2y, \, 0 \right)$
• 第二个曲面：$z^2 = m - x$，改写为$F_2 = z^2 + x - m = 0$，梯度为：
  $\nabla F_2 = \left( 1, \, 0, \, 2z \right)$

2. 计算切线方向向量

两法向量叉乘结果为：
$\begin{vmatrix}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\-2m & 2y & 0 \\1 & 0 & 2z\end{vmatrix} = \boldsymbol{i}(4yz) - \boldsymbol{j}(-4mz) + \boldsymbol{k}(-2y) = (4yz, \, 4mz, \, -2y)$

3. 简化方向向量

将方向向量除以$4yz$，得：
$\left( 1, \, \frac{m}{y}, \, -\frac{1}{2z} \right)$

4. 构建切线方程

以点$(x_0, y_0, z_0)$和方向向量$(1, \frac{m}{y_0}, -\frac{1}{2z_0})$，切线方程为：
$\frac{x - x_0}{1} = \frac{y - y_0}{\frac{m}{y_0}} = \frac{z - z_0}{-\frac{1}{2z_0}}$

5. 构建法平面方程

法平面方程由方向向量分量作为系数，形式为：
$1 \cdot (x - x_0) + \frac{m}{y_0} \cdot (y - y_0) - \frac{1}{2z_0} \cdot (z - z_0) = 0$