如图,已知正方体 -A'B'C'D', 点E,F分别是上底面A`C`和侧面CD`的中心.求-|||-下列各式中x,y的值:-|||-(1) overrightarrow (AC')=x(overrightarrow (AB)+overrightarrow (BC)+overrightarrow (CC'));-|||-(2) overrightarrow (AE)=overrightarrow (AA')+xoverrightarrow (AB)+yoverrightarrow (AD);-|||-(3) overrightarrow (AF)=overrightarrow (AD)+xoverrightarrow (AB)+yoverrightarrow (AA')

本题主要考查空间向量的线性运算，解题的关键在于利用正方体的性质以及向量的加减法法则，将所求向量用已知向量表示出来。

（1）求$\overrightarrow {AC'}=x(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CC'})$中$x$的值

在正方体$ABCD - A'B'C'D'$中，根据向量加法的三角形法则，$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}$。
所以$\overrightarrow {AC'}=1\times(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CC'})$，则$x = 1$。

（2）求$\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AA'}+x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AD}$中$x$，$y$的值

因为点$E$是上底面$A'C'$的中心，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'E}$。
又因为$\overrightarrow{A'E}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC'}$，而在正方体中$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$，所以$\overrightarrow{A'E}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'})$。
则$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AA'}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'})=\overrightarrow{AA'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。
对比$\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AA'}+x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AD}$，可得$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$。

（3）求$\overrightarrow {AF}=\overrightarrow {AD}+x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AA'}$中$x$，$y$的值

方法一

因为点$F$是侧面$CD'$的中心，所以$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$。
又因为$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC'}$，而$\overrightarrow{DC'}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD'}$，在正方体中$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}$，所以$\overrightarrow{DC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}$，则$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'})$。
所以$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'})=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$。
对比$\overrightarrow {AF}=\overrightarrow {AD}+x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AA'}$，可得$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$。

方法二

因为$F$为$CD'$的中点，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD'})$。
又因为$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'})]=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'})=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$。
对比$\overrightarrow {AF}=\overrightarrow {AD}+x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AA'}$，可得$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$。

方法三

因为$F$为$CD'$的中点，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD'})$。
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$，则$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'})]=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$。
对比$\overrightarrow {AF}=\overrightarrow {AD}+x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AA'}$，可得$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$。