如图,在 Delta ABC 中, angle C=(90)^circ , AD平分 angle BAC, bot AB 于点E,点F在AC上,-|||-且 =DF. (1)求证: =EB; (2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系,并说明理由.-|||-C-|||-F-|||-D-|||-A E B

考查要点：本题主要考查角平分线性质、直角三角形全等判定（HL）、全等三角形的性质以及线段和差关系的应用。

解题核心思路：

1. 第一问的关键在于通过角平分线性质得出CD=DE，再结合BD=DF构造直角三角形全等（HL），从而证明CF=EB。
2. 第二问需利用角平分线性质和全等三角形（AAS）证明AC=AE，再结合线段和差关系推导出AE=AF+BE。

破题关键点：

• 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
• 全等三角形的灵活构造：通过已知垂直条件和角平分线性质，找到对应边和角的等量关系。
• 线段和差关系的转化：将整体线段拆解为部分线段的和，利用全等带来的等量代换。

第（1）题

角平分线性质应用

$\because AD$平分$\angle BAC$，且$DE \bot AB$，$\angle C=90^\circ$，
$\therefore CD=DE$（角平分线性质：点$D$到两边$AC$和$AD$的距离相等）。

构造全等三角形

$\because BD=DF$（需补充题目隐含条件或通过其他方式说明），
且$\angle DEB=\angle C=90^\circ$，$DE=CD$，
$\therefore \Delta BDE \cong \Delta FDC$（HL全等判定）。
$\therefore CF=EB$（全等三角形对应边相等）。

第（2）题

全等三角形证明

$\because AD$平分$\angle BAC$，$\angle CAD=\angle EAD$，
$\angle C=\angle AED=90^\circ$，且$AD$为公共边，
$\therefore \Delta ADC \cong \Delta ADE$（AAS全等判定）。
$\therefore AC=AE$（全等三角形对应边相等）。

线段和差关系推导

$\because AC=AF+FC$，且$CF=BE$（第1问结论），
$\therefore AE=AC=AF+BE$。