题目
2. 已知二阶方阵A的特征值为1，3，则A^T的特征值为____，____；A^-1的特征值为____，____；A+E的特征值为____，____；A²的特征值为____，____.
2. 已知二阶方阵A的特征值为1，3，则$A^{T}$的特征值为____，____；$A^{-1}$的特征值为____，____；A+E的特征值为____，____；A²的特征值为____，____.
题目解答
答案
已知二阶方阵 $ A $ 的特征值为 1 和 3，利用特征值的性质：
1. **$ A^T $ 的特征值**：与 $ A $ 相同，为 1 和 3。
2. **$ A^{-1} $ 的特征值**：为原特征值的倒数，为 1 和 $\frac{1}{3}$。
3. **$ A + E $ 的特征值**：原特征值加 1，为 2 和 4。
4. **$ A^2 $ 的特征值**：原特征值的平方，为 1 和 9。
答案：
\[
\boxed{
\begin{array}{cccc}
1 & 3 & 1 & \frac{1}{3} \\
2 & 4 & 1 & 9 \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵特征值的性质，包括转置矩阵、逆矩阵、矩阵加法、矩阵乘法的特征值计算。
解题核心思路：
- 转置矩阵：矩阵转置不改变特征值。
- 逆矩阵：若原矩阵特征值为$\lambda$，则逆矩阵的特征值为$\frac{1}{\lambda}$（要求原矩阵可逆）。
- 矩阵加法：若原矩阵特征值为$\lambda$，则矩阵加单位矩阵$E$后的特征值为$\lambda + 1$。
- 矩阵平方：若原矩阵特征值为$\lambda$，则矩阵平方的特征值为$\lambda^2$。
破题关键点：直接应用特征值的上述性质，无需计算具体矩阵。
$A^{T}$的特征值
根据转置矩阵的特征值与原矩阵相同，$A^{T}$的特征值仍为$1$和$3$。
$A^{-1}$的特征值
原矩阵特征值为$1$和$3$，均不为零，故$A$可逆。根据逆矩阵的特征值为原特征值的倒数，得$A^{-1}$的特征值为$1$和$\frac{1}{3}$。
$A + E$的特征值
根据矩阵加法的特征值为原特征值加1，得$A + E$的特征值为$1 + 1 = 2$和$3 + 1 = 4$。
$A^{2}$的特征值
根据矩阵平方的特征值为原特征值的平方，得$A^{2}$的特征值为$1^2 = 1$和$3^2 = 9$。