题目

5 单选(3分)平面 x-2y-3z+1=0 和 x-y+z+2=0 的位置关系为-|||-A.平行-|||-B.重合-|||-C.垂直相交-|||-D.相交但不垂直

题目解答

答案

C. 垂直相交

解析

本题考查知识点为空间中两个平面的位置关系，解题思路是通过平面的法向量来判断平面的位置关系。具体步骤如下：

  1. 首先明确平面的一般式方程$Ax + By + Cz + D = 0$中，其法向量$\vec{n}=(A,B,C)$。
  2. 对于平面$x - 2y - 3z + 1 = 0$，根据上述规则，它的法向量$\vec{n_1}=(1,-2,-3)$。
  3. 对于平面$x - y + z + 2 = 0$，它的法向量$\vec{n_2}=(1,-1,1)$。
  4. 然后判断两个平面是否平行或重合，若两平面平行或重合，则它们的法向量对应成比例。计算$\frac{1}{1}\neq\frac{-2}{-1}\neq\frac{-3}{1}$，所以两平面既不平行也不重合。
  5. 接着判断两平面是否垂直，若两平面垂直，则它们的法向量的点积为$0$。根据向量点积公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$，计算$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\times1+(-2)\times(-1)+(-3)\times1$
    • 先计算乘法：$1\times1 = 1$，$(-2)\times(-1)=2$，$(-3)\times1=-3$。
    • 再计算加法：$1 + 2+(-3)=1 + 2 - 3=0$。
    • 由于$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$，所以两平面垂直。
    • 又因为两平面不重合，所以两平面垂直相交。