18.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,则此概率是多少?

步骤 1：定义事件
设事件$A_i$表示“第$i$次拨号接通电话”，$i=1,2,3$。事件$A$表示“拨号不超过三次接通电话”，则有$A=A_1\cup A_1A_2\cup A_1A_2A_3$。其中$A_1A_2$表示第一次未接通，第二次接通，$A_1A_2A_3$表示前两次未接通，第三次接通。

步骤 2：计算概率
由于每次拨号是独立的，且每次拨号接通的概率为$\frac{1}{10}$，未接通的概率为$\frac{9}{10}$。因此，有：
- $P(A_1)=\frac{1}{10}$
- $P(A_1A_2)=P(A_2|A_1^c)P(A_1^c)=\frac{1}{9}\times\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$
- $P(A_1A_2A_3)=P(A_3|A_1^cA_2^c)P(A_2^c|A_1^c)P(A_1^c)=\frac{1}{8}\times\frac{8}{9}\times\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$

步骤 3：求解总概率
由于$A_1$，$A_1A_2$，$A_1A_2A_3$两两互不相容，所以$P(A)=P(A_1)+P(A_1A_2)+P(A_1A_2A_3)=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}$。

步骤 4：已知最后一个数字是奇数时的概率
若已知最后一个数字是奇数，那么接通电话的概率变为$\frac{1}{5}$，未接通的概率为$\frac{4}{5}$。因此，有：
- $P(A_1)=\frac{1}{5}$
- $P(A_1A_2)=P(A_2|A_1^c)P(A_1^c)=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$
- $P(A_1A_2A_3)=P(A_3|A_1^cA_2^c)P(A_2^c|A_1^c)P(A_1^c)=\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$

步骤 5：求解总概率
由于$A_1$，$A_1A_2$，$A_1A_2A_3$两两互不相容，所以$P(A)=P(A_1)+P(A_1A_2)+P(A_1A_2A_3)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$。