18.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,则此概率是多少?

考查要点：本题主要考查互斥事件的概率加法公式以及条件概率的应用。需要理解在不同情况下（是否已知最后一个数字为奇数），每次拨号的独立性及剩余可能性的变化。

解题核心思路：

1. 分解事件：将“不超过三次拨通”分解为“第一次拨对”、“第一次错第二次拨对”、“前两次错第三次拨对”三个互斥事件。
2. 逐次计算概率：每次拨号的概率需考虑前一次拨号的结果（是否拨错），并调整剩余可能性。
3. 条件概率调整：当已知最后一个数字是奇数时，总可能数从10变为5，每次拨号的概率需相应调整。

第（1）题：最后一个数字未知的情况

事件分解

设事件$A_i$为“第$i$次拨号接通”，则“不超过三次拨通”可表示为：
$A = A_1 \cup \overline{A_1}A_2 \cup \overline{A_1}\overline{A_2}A_3$
三者互斥，概率可相加。

计算各事件概率

1. 第一次拨对：
   $P(A_1) = \frac{1}{10}$

2. 第一次错，第二次拨对：
   $P(\overline{A_1}A_2) = P(\overline{A_1}) \cdot P(A_2|\overline{A_1}) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{10}$

3. 前两次错，第三次拨对：
   $P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}|\overline{A_1}) \cdot P(A_3|\overline{A_1}\overline{A_2}) = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{10}$

总概率

$P(A) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$

第（2）题：已知最后一个数字是奇数的情况

调整总可能数

此时最后一个数字为1,3,5,7,9中的一个，共5种可能，每次拨号的正确概率需重新计算。

计算各事件概率

1. 第一次拨对：
   $P(A_1) = \frac{1}{5}$

2. 第一次错，第二次拨对：
   $P(\overline{A_1}A_2) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$

3. 前两次错，第三次拨对：
   $P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$

总概率

$P(A) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$