题目
3.求下列极限:-|||-(5) lim _(xarrow 0)((1+3sin x))^cot x-|||-()
题目解答
答案
解析
步骤 1：将极限问题转化为指数形式
将原极限问题 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+3\sin x)}^{\csc x}$ 转化为指数形式，即 $\lim _{x\rightarrow 0}e^{\csc x \ln(1+3\sin x)}$。这是因为 $a^b = e^{b \ln a}$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于 $\lim _{x\rightarrow 0} \csc x \ln(1+3\sin x)$ 是一个不定型，可以应用洛必达法则。首先，将 $\csc x$ 写为 $\frac{1}{\sin x}$，则原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+3\sin x)}{\sin x}$。应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0} \frac{\frac{3\cos x}{1+3\sin x}}{\cos x} = \lim _{x\rightarrow 0} \frac{3}{1+3\sin x}$。
步骤 3：计算极限值
计算 $\lim _{x\rightarrow 0} \frac{3}{1+3\sin x}$ 的值，当 $x$ 趋于 $0$ 时，$\sin x$ 趋于 $0$，因此极限值为 $\frac{3}{1+3*0} = 3$。因此，原极限问题的指数部分的极限值为 $3$，即 $\lim _{x\rightarrow 0}e^{\csc x \ln(1+3\sin x)} = e^3$。
将原极限问题 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+3\sin x)}^{\csc x}$ 转化为指数形式，即 $\lim _{x\rightarrow 0}e^{\csc x \ln(1+3\sin x)}$。这是因为 $a^b = e^{b \ln a}$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于 $\lim _{x\rightarrow 0} \csc x \ln(1+3\sin x)$ 是一个不定型，可以应用洛必达法则。首先，将 $\csc x$ 写为 $\frac{1}{\sin x}$，则原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+3\sin x)}{\sin x}$。应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0} \frac{\frac{3\cos x}{1+3\sin x}}{\cos x} = \lim _{x\rightarrow 0} \frac{3}{1+3\sin x}$。
步骤 3：计算极限值
计算 $\lim _{x\rightarrow 0} \frac{3}{1+3\sin x}$ 的值，当 $x$ 趋于 $0$ 时，$\sin x$ 趋于 $0$，因此极限值为 $\frac{3}{1+3*0} = 3$。因此，原极限问题的指数部分的极限值为 $3$，即 $\lim _{x\rightarrow 0}e^{\csc x \ln(1+3\sin x)} = e^3$。